第一章 事象と確率

この章で扱うこと

統計学では、データを「偶然に得られた値」として扱います。 その偶然を数学的に表すための道具が確率です。

この章では、次の流れで確率を整理します。

• 標本空間と事象
• 確率の公理
• 確率の基本公式
• 条件付き確率
• 独立性
• ベイズの定理
• 確率変数と分布

統計検定1級では、確率を「なんとなく起こりやすい割合」ではなく、集合に対して定義された関数として理解することが重要です。

標本空間と事象

偶然に起こりうるすべての結果を集めた集合を 標本空間 といい、$\Omega$ と書きます。 標本空間の部分集合を 事象 といいます。

例えば、サイコロを1回振る場合、

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$$

です。

偶数が出る事象を $A$ とすると、

$$A=\{2,4,6\}$$

と書けます。

このように、事象は「文章で表された出来事」を集合として表したものです。

薬学や生命科学では、標本空間と事象を次のように置き換えると考えやすくなります。

場面	標本空間 $\Omega$	事象の例
細胞実験	測定された全ウェルの反応	$A=$「細胞生存率が $80\%$ 以上」
酵素阻害試験	試験した全化合物の結果	$B=$「阻害率が $50\%$ 以上」
副作用調査	観察した全患者の転帰	$C=$「眠気が出た」
AI創薬の予測	モデルが評価した全候補化合物	$D=$「活性ありと予測された」

ここで大事なのは、確率を学ぶと「何が起こったか」を数えるだけでなく、そこから研究上の判断に進めることです。 例えば、細胞生存率のデータからは「この濃度は安全そうか」、服薬アドヒアランスと血中濃度のデータからは「介入が必要そうか」、AI創薬モデルのスコアからは「どの化合物を次に実験するか」を考えられます。

例えば、化合物スクリーニングで

$$A=\{\text{活性がある化合物}\},\quad B=\{\text{細胞毒性が低い化合物}\}$$

とおくと、

$$A\cap B$$

は「活性があり、かつ細胞毒性が低い化合物」を表します。 これは創薬の初期探索で本当に欲しい候補集合です。 つまり、集合の記号は抽象的に見えますが、実際には「どの候補を残すか」「どの条件を危険とみなすか」を明確にする道具です。

集合の基本操作

2つの事象 $A,B$ に対して、よく使う集合の操作は次の3つです。

まず、和集合です。

$$A\cup B$$

これは「$A$ または $B$ が起こる」ことを表します。

次に、共通部分です。

$$A\cap B$$

これは「$A$ と $B$ が同時に起こる」ことを表します。

最後に、補集合です。

$$A^c$$

これは「$A$ が起こらない」ことを表します。

例えば、サイコロで

$$A=\{2,4,6\},\quad B=\{4,5,6\}$$

なら、

$$A\cap B=\{4,6\}$$

です。

確率の公理

確率 $P$ は、事象 $A$ に対して数 $P(A)$ を対応させる関数です。

$$P:\mathcal{F}\to [0,1]$$

ここで $\mathcal{F}$ は、確率を考える対象となる事象の集まりです。 統計検定1級では、$\Omega$、$\mathcal{F}$、$P$ をまとめて

$$(\Omega,\mathcal{F},P)$$

と書き、これを 確率空間 と呼ぶことを押さえておくとよいです。

確率は次の3つの性質を満たします。

1つ目は、確率は負にならないことです。

$$P(A)\geq 0$$

2つ目は、全体の確率が 1 であることです。

$$P(\Omega)=1$$

3つ目は、互いに重ならない事象は確率を足せることです。 事象 $A_1,A_2,\dots$ が互いに排反、つまり

$$A_i\cap A_j=\emptyset \quad (i\neq j)$$

であるなら、

$$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$$

が成り立ちます。

この3つが確率の出発点です。

確率の基本公式

確率の公理から、よく使う公式が導かれます。

まず、補集合の確率は、

$$P(A^c)=1-P(A)$$

です。

また、2つの事象 $A,B$ について、

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

が成り立ちます。

$P(A)+P(B)$ と足すだけでは、$A$ と $B$ の両方に含まれる部分を二重に数えてしまいます。 そのため、重なりである $P(A\cap B)$ を一度引きます。

特に $A$ と $B$ が排反なら、

$$A\cap B=\emptyset$$

なので、

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

となります。

劣加法性と Bonferroni の不等式

事象が重なっているかどうか分からないときでも、和集合の確率には上からの評価があります。 2つの事象 $A,B$ について、

$$P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)$$

が成り立ちます。 これを 劣加法性 といいます。

理由は、正確には

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

であり、

$$P(A\cap B)\geq 0$$

だからです。

一般に、事象 $A_1,\dots,A_n$ について、

$$P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right) \leq \sum_{i=1}^{n}P(A_i)$$

が成り立ちます。 これは、複数の「失敗」や「副作用」のうち少なくとも1つが起こる確率を、簡単に上から押さえるときに使えます。

一方、共通部分の確率を下から評価する不等式も重要です。 2つの事象について、

$$P(A\cap B) = 1-P(A^c\cup B^c)$$

です。 劣加法性より、

$$P(A^c\cup B^c)\leq P(A^c)+P(B^c)$$

なので、

$$P(A\cap B)\geq 1-P(A^c)-P(B^c)$$

となります。 これを Bonferroni の不等式 といいます。

同じ式は、

$$P(A\cap B)\geq P(A)+P(B)-1$$

とも書けます。

例えば、ある薬で「有効である」確率が $0.8$、「重い副作用が出ない」確率が $0.9$ だとします。 この2つが独立かどうか分からなくても、

$$P(\text{有効}\cap \text{重い副作用なし}) \geq 0.8+0.9-1 =0.7$$

と下から評価できます。 独立性を仮定しなくても言える、という点が大事です。

条件付き確率

条件付き確率は、「$B$ が起きたと分かっているときに、$A$ が起こる確率」です。

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

ただし、

$$P(B)>0$$

とします。

この式は、標本空間を $\Omega$ から $B$ に狭めて考えている、と見ると理解しやすいです。 つまり、条件 $B$ の中で $A$ も起こっている部分の割合を見ています。

式を変形すると、

$$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$$

となります。 これは積の公式と呼ばれます。

同様に、

$$P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)$$

も成り立ちます。

独立性

事象 $A$ と $B$ が独立であるとは、$B$ が起きたことを知っても $A$ の確率が変わらないことです。

$$P(A\mid B)=P(A)$$

これを積の公式に代入すると、

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

となります。

統計では、独立性はとても重要です。 例えば、独立な確率変数 $X_1,\dots,X_n$ を仮定すると、標本平均や分散の性質をきれいに計算できます。

ただし、「排反」と「独立」は別物です。 排反は同時に起こらないこと、独立は一方の情報がもう一方の確率を変えないことです。

薬学では、独立性を安易に仮定しないことが大切です。 例えば、

$$A=\{\text{服薬アドヒアランスが良い}\},\quad T=\{\text{血中濃度が治療域に入る}\}$$

とすると、ふつう $A$ と $T$ は独立ではありません。 服薬できているという情報は、血中濃度が治療域に入る確率を変えるからです。

一方で、実験デザイン上は「独立に近い」とみなしたい場面もあります。 例えば、同じプレート上の隣り合うウェルでは位置効果が出ることがあるため、ウェルをランダム化して処理群を割り付けます。 これは、測定値どうしの不要な依存を減らすための工夫です。

全確率の公式

事象 $B_1,\dots,B_k$ が標本空間 $\Omega$ を重ならずに分けているとします。 つまり、

$$B_i\cap B_j=\emptyset \quad (i\neq j)$$

かつ、

$$\bigcup_{i=1}^{k}B_i=\Omega$$

であるとします。

このとき、任意の事象 $A$ について、

$$P(A)=\sum_{i=1}^{k}P(A\mid B_i)P(B_i)$$

が成り立ちます。

これは、$A$ が起こる確率を、場合分けして足し合わせる公式です。

ベイズの定理

ベイズの定理は、条件付き確率の向きを入れ替える公式です。

$$P(B_j\mid A) = \frac{P(A\mid B_j)P(B_j)} {\sum_{i=1}^{k}P(A\mid B_i)P(B_i)}$$

分子は「$B_j$ が原因で $A$ が起こる確率の重み」です。 分母は、すべての場合を足し合わせた $A$ の確率です。

検査の例なら、$A$ を「検査陽性」、$B_j$ を「病気である」と考えると、

$$P(\text{病気}\mid \text{陽性})$$

のような確率を計算できます。

ここで大事なのは、検査が陽性になる確率と、陽性だった人が本当に病気である確率は違うという点です。

例題1：0,1 の送信と受信

0 または 1 を送信する通信を考えます。 送信される値は 0 のほうが多く、次の確率で選ばれるとします。

$$P(X=0)=0.7,\quad P(X=1)=0.3$$

受信では、0 を 1 と誤る確率が $0.05$、1 を 0 と誤る確率が $0.10$ だとします。

$$P(Y=1\mid X=0)=0.05,\quad P(Y=0\mid X=1)=0.10$$

このとき、受信値が 1 である確率 $P(Y=1)$ を求めます。 また、受信値が 1 だったとき、本当に 1 が送られていた確率 $P(X=1\mid Y=1)$ を求めます。

送信値	受信値が 0	受信値が 1
X=0	0.95	0.05
X=1	0.10	0.90

解答

全確率の公式より、

$$P(Y=1) = P(Y=1\mid X=0)P(X=0) + P(Y=1\mid X=1)P(X=1)$$

です。 ここで、

$$P(Y=1\mid X=0)=0.05,\quad P(Y=1\mid X=1)=0.90$$

なので、

$$P(Y=1) = 0.05\cdot 0.7 + (0.90)\cdot 0.3 = 0.035+0.270 =0.305$$

です。

次に、ベイズの定理より、

$$P(X=1\mid Y=1) = \frac{P(Y=1\mid X=1)P(X=1)}{P(Y=1)}$$

です。 したがって、

$$P(X=1\mid Y=1) = \frac{0.90\cdot 0.3}{0.305} = \frac{0.270}{0.305} \approx 0.885$$

となります。 受信値が 1 だったとき、本当に 1 が送られていた確率は約 $88.5\%$ です。 送信前には 1 が送られる確率は $30\%$ でしたが、受信値 1 という情報を得ると確率が大きく更新されます。

例題2：病気と検査

ある病気の有病率を $1\%$ とします。 病気である事象を $D$、検査陽性である事象を $+$ とします。

$$P(D)=0.01$$

検査の感度を $95\%$ とします。 感度とは、病気の人を陽性と判定する確率です。

$$P(+\mid D)=0.95$$

検査の特異度を $90\%$ とします。 特異度とは、病気でない人を陰性と判定する確率です。

$$P(-\mid D^c)=0.90$$

したがって、病気でない人が陽性になる確率は、

$$P(+\mid D^c)=0.10$$

です。 検査で陽性だった人が本当に病気である確率を求めます。

状態	確率	陽性になる確率	全体に占める陽性
病気 D	0.01	0.95	0.0095
病気でない D^c	0.99	0.10	0.099
合計	1		0.1085

解答

求めたいのは、

$$P(D\mid +)$$

です。 ベイズの定理より、

$$P(D\mid +) = \frac{P(+\mid D)P(D)} {P(+\mid D)P(D)+P(+\mid D^c)P(D^c)}$$

です。 数値を代入すると、

$$P(D\mid +) = \frac{0.95\times 0.01} {0.95\times 0.01+0.10\times 0.99}$$

分子は、

$$0.95\times 0.01=0.0095$$

分母は、

$$0.0095+0.099=0.1085$$

なので、

$$P(D\mid +)=\frac{0.0095}{0.1085}\approx 0.0876$$

です。 つまり、検査が陽性でも、本当に病気である確率は約 $8.8\%$ です。 有病率が低い病気では、偽陽性の影響が大きくなります。

例題3：薬と治療効果は独立か

ある臨床試験で、薬を投与された事象を $A$、治療効果があった事象を $E$ とします。 次の確率が分かっているとします。

$$P(A)=0.5,\quad P(E)=0.4,\quad P(E\mid A)=0.6$$

薬の投与と治療効果は独立かどうかを、分割表を作って判定します。

解答

まず、薬を投与され、かつ治療効果があった確率を求めます。

$$P(A\cap E)=P(E\mid A)P(A)=0.6\times 0.5=0.3$$

次に、治療効果があった全体の確率は $P(E)=0.4$ なので、薬を投与されていないが治療効果があった確率は、

$$P(A^c\cap E)=P(E)-P(A\cap E)=0.4-0.3=0.1$$

です。 また、$P(A)=0.5$ なので、

$$P(A\cap E^c)=P(A)-P(A\cap E)=0.5-0.3=0.2$$

です。 残りは、

$$P(A^c\cap E^c)=1-0.3-0.1-0.2=0.4$$

です。 したがって、分割表は次のようになります。

	効果あり E	効果なし E^c	合計
投与あり A	0.3	0.2	0.5
投与なし A^c	0.1	0.4	0.5
合計	0.4	0.6	1

独立なら、

$$P(A\cap E)=P(A)P(E)$$

が成り立ちます。 しかし、

$$P(A)P(E)=0.5\times 0.4=0.2$$

である一方、分割表より、

$$P(A\cap E)=0.3$$

です。 一致しないので、薬の投与と治療効果は独立ではありません。

同じことは条件付き確率でも確認できます。

$$P(E\mid A)=0.6,\quad P(E)=0.4$$

なので、

$$P(E\mid A)\neq P(E)$$

です。

例題4：副作用の上限

ある薬について、眠気が出る事象を $A$、吐き気が出る事象を $B$ とします。

$$P(A)=0.12,\quad P(B)=0.08$$

このとき、眠気または吐き気の少なくとも一方が出る確率の上限を求めます。

解答

劣加法性より、

$$P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)$$

です。 したがって、

$$P(A\cup B)\leq 0.12+0.08=0.20$$

です。 眠気または吐き気の少なくとも一方が出る確率は、高くても $20\%$ と評価できます。 この評価では、眠気と吐き気が独立かどうかを仮定していません。

例題5：有効かつ安全である確率

ある治療で、有効である事象を $A$、重い副作用が出ない事象を $B$ とします。

$$P(A)=0.75,\quad P(B)=0.92$$

このとき、「有効であり、かつ重い副作用が出ない」確率の下限を求めます。

解答

Bonferroni の不等式より、

$$P(A\cap B)\geq P(A)+P(B)-1$$

です。 したがって、

$$P(A\cap B)\geq 0.75+0.92-1=0.67$$

です。 つまり、有効であり、かつ重い副作用が出ない確率は、少なくとも $67\%$ と評価できます。 ここでも、薬効と副作用の有無が独立であるとは仮定していません。

例題6：薬学部らしい例題 服薬アドヒアランスと血中濃度

患者が指示通り服薬している事象を $A$、血中濃度が治療域に入る事象を $T$ とします。 次の確率が分かっているとします。

$$P(A)=0.8,\quad P(T\mid A)=0.9,\quad P(T\mid A^c)=0.3$$

血中濃度が治療域に入る確率 $P(T)$ を求めます。

解答

$A$ と $A^c$ で場合分けして、全確率の公式を使います。

$$P(T)=P(T\mid A)P(A)+P(T\mid A^c)P(A^c)$$

です。 ここで、

$$P(A^c)=1-P(A)=0.2$$

なので、

$$P(T)=0.9\times 0.8+0.3\times 0.2$$

です。 したがって、

$$P(T)=0.72+0.06=0.78$$

となります。 血中濃度が治療域に入る確率は $78\%$ です。

この例では、服薬アドヒアランスによって血中濃度の分布が変わるため、$A$ と $T$ は一般には独立ではありません。

例題7：AI創薬モデルの陽性的中率

候補化合物の中で、実際に標的タンパク質に強く結合する化合物の割合を $5\%$ とします。 実際に強く結合する事象を $A$、AIモデルが「有望」と判定する事象を $+$ とします。

$$P(A)=0.05$$

モデルの感度、つまり実際に強く結合する化合物を有望と判定する確率を $80\%$ とします。

$$P(+\mid A)=0.80$$

一方、実際には強く結合しない化合物を誤って有望と判定する確率を $15\%$ とします。

$$P(+\mid A^c)=0.15$$

モデルが有望と判定した化合物が、実際に強く結合する確率 $P(A\mid +)$ を求めます。

解答

ベイズの定理を使います。

$$P(A\mid +) = \frac{P(+\mid A)P(A)} {P(+\mid A)P(A)+P(+\mid A^c)P(A^c)}$$

です。 まず、

$$P(A^c)=1-P(A)=0.95$$

です。 分子は、

$$P(+\mid A)P(A)=0.80\times 0.05=0.040$$

です。 分母は、

$$0.80\times 0.05+0.15\times 0.95 =0.040+0.1425 =0.1825$$

です。 したがって、

$$P(A\mid +) = \frac{0.040}{0.1825} \approx 0.219$$

となります。 有望と判定された化合物でも、実際に強く結合する確率は約 $21.9\%$ です。

これは低く見えるかもしれませんが、ランダムに選ぶと $5\%$ なので、モデルにより候補化合物はかなり濃縮されています。 創薬スクリーニングでは、「当たる確率そのもの」だけでなく、「ベースラインからどれだけ濃縮できたか」も重要です。

確率変数

確率変数とは、標本空間の結果を数値に変換する関数です。

$$X:\Omega\to\mathbb{R}$$

例えば、サイコロの出た目をそのまま数値にするなら、

$$X(1)=1,\quad X(2)=2,\quad \dots,\quad X(6)=6$$

です。

確率変数を使うと、

$$P(X\leq 3)$$

のように、数値の範囲で確率を表せます。

サイコロなら、

$$P(X\leq 3)=P(\{1,2,3\})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

です。

分布関数

確率変数 $X$ に対して、

$$F(x)=P(X\leq x)$$

で定義される関数を 分布関数 といいます。

分布関数は、$x$ 以下の値をとる確率を表します。 離散型でも連続型でも使える、確率変数の基本的な表現です。

分布関数は次の性質をもちます。

$$0\leq F(x)\leq 1$$ $$x\leq y \Rightarrow F(x)\leq F(y)$$

また、

$$\lim_{x\to -\infty}F(x)=0,\quad \lim_{x\to \infty}F(x)=1$$

です。

一般的な確認問題

ここまでの薬学例から少し離れて、確率の基本操作だけを使う問題も解いておきます。 統計検定1級では、応用文脈を外しても、条件付き確率、独立性、全確率、ベイズの定理を素早く使えることが大切です。

問題1：和集合と共通部分

2つの事象 $A,B$ について、

$$P(A)=0.45,\quad P(B)=0.30,\quad P(A\cap B)=0.12$$

とします。 次を求めてください。

1. $P(A\cup B)$
2. $P(A^c\cap B)$
3. $P(A\mid B)$

解答

まず、和集合の公式を使います。

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

なので、

$$P(A\cup B)=0.45+0.30-0.12=0.63$$

です。

次に、$A^c\cap B$ は「$B$ は起こるが $A$ は起こらない」部分です。 $B$ は、

$$B=(A\cap B)\cup(A^c\cap B)$$

と分けられ、この2つは排反です。 したがって、

$$P(B)=P(A\cap B)+P(A^c\cap B)$$

です。 よって、

$$P(A^c\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0.30-0.12=0.18$$

となります。

最後に条件付き確率です。

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

なので、

$$P(A\mid B)=\frac{0.12}{0.30}=0.40$$

です。

問題2：独立性の判定

2つの事象 $A,B$ について、

$$P(A)=0.6,\quad P(B)=0.5,\quad P(A\cap B)=0.3$$

とします。 $A$ と $B$ は独立ですか。

解答

独立であるための条件は、

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

です。 右辺を計算すると、

$$P(A)P(B)=0.6\times 0.5=0.3$$

です。 これは与えられた

$$P(A\cap B)=0.3$$

と一致します。 したがって、$A$ と $B$ は独立です。

同じことは条件付き確率でも確認できます。

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} =\frac{0.3}{0.5} =0.6$$

であり、

$$P(A\mid B)=P(A)$$

なので、やはり独立です。

問題3：全確率の公式

事象 $B_1,B_2,B_3$ が標本空間を排反に分割しているとします。

$$P(B_1)=0.2,\quad P(B_2)=0.5,\quad P(B_3)=0.3$$

また、事象 $A$ について、

$$P(A\mid B_1)=0.1,\quad P(A\mid B_2)=0.4,\quad P(A\mid B_3)=0.7$$

とします。 $P(A)$ を求めてください。

解答

全確率の公式より、

$$P(A)=\sum_{i=1}^{3}P(A\mid B_i)P(B_i)$$

です。 それぞれ代入すると、

$$P(A) =0.1\cdot 0.2+0.4\cdot 0.5+0.7\cdot 0.3$$

です。 計算すると、

$$P(A)=0.02+0.20+0.21=0.43$$

となります。

問題4：ベイズの定理

事象 $B_1,B_2$ が標本空間を排反に分割しており、

$$P(B_1)=0.7,\quad P(B_2)=0.3$$

とします。 また、

$$P(A\mid B_1)=0.2,\quad P(A\mid B_2)=0.6$$

です。 $A$ が起こったとき、それが $B_2$ 側から来た確率 $P(B_2\mid A)$ を求めてください。

解答

まず、分母となる $P(A)$ を全確率の公式で求めます。

$$P(A)=P(A\mid B_1)P(B_1)+P(A\mid B_2)P(B_2)$$

なので、

$$P(A)=0.2\cdot 0.7+0.6\cdot 0.3=0.14+0.18=0.32$$

です。 ベイズの定理より、

$$P(B_2\mid A) = \frac{P(A\mid B_2)P(B_2)}{P(A)}$$

です。 したがって、

$$P(B_2\mid A) = \frac{0.6\cdot 0.3}{0.32} = \frac{0.18}{0.32} =0.5625$$

となります。

まとめ

確率は、事象に数を対応させる関数です。 その土台は、標本空間、事象、確率測度からなる確率空間

$$(\Omega,\mathcal{F},P)$$

です。

条件付き確率、独立性、ベイズの定理は、すべてこの確率空間の上で定義されます。 さらに、確率変数を使うことで、偶然の結果を数値データとして扱えるようになります。

この考え方が、期待値、分散、標本平均、推定、検定へつながります。