第五章 標本分布とその近似

この章で目指すこと

母集団の分布そのものは、普通は見えません。手元にあるのは、そこから得た有限個の標本です。 そこで統計学では、標本から計算した量が、標本を取り直すたびにどのように変動するかを考えます。これが標本分布です。

「同じ実験を何度もやり直す」頭の中の実験

独立なマウス5匹の反応量から平均を計算したとします。 得られた平均が10だったとしても、別の5匹を選べば9.4や10.8になるかもしれません。 この標本抽出を何度も繰り返し、そのたびに得られる平均を並べた分布が、標本平均の標本分布です。

区別するもの	中身	例
母集団分布	個体レベルの値の分布	すべての対象個体のAUC
1回の標本	実際に集めた有限個の値	今回測定した5匹のAUC
標本分布	同じ方法で標本を取り直したときの統計量の分布	5匹の平均AUCを繰り返し計算した分布

標本分布は「手元の5個の値を描いたヒストグラム」ではありません。 平均、分散、比率など、標本から計算した量そのものの不確実性を表します。

この章を学ぶと、次の「情報から何を学べるか」がつながります。

手元にある情報	使う考え方	学べること
標本平均と標本数	標本平均の分布・中心極限定理	母平均の推定精度、信頼区間、検定統計量
標本分散	カイ二乗分布	母分散の推定、測定精度の不確実性
小標本の平均と標本分散	$t$ 分布	母分散未知でも母平均を推測する方法
2群の標本分散	$F$ 分布	分散比、モデル比較、分散分析の基礎
標本数を増やしたときの統計量	収束・大数の法則・中心極限定理	推定量が正しい値へ近づく条件と近似分布
比率、対数、比などの非線形な量	連続写像定理・Slutsky・デルタ法	変換後の標準誤差と近似信頼区間
最小値、中央値、最大値	順序統計量・極値理論	分位点、最悪値、ピーク値の確率評価

例えば、薬物動態試験の平均AUCを計算しただけでは、「別の被験者を集めたら平均がどれだけ動くか」は分かりません。 標本分布を使うと、観測された平均を母平均へ橋渡しできます。

1. 統計量と標本分布

1.1 母集団、無作為標本、実現値

母集団分布を $F$ とし、そこから独立に同じ分布で得られる確率変数を、

$$X_1,X_2,\ldots,X_n\overset{\mathrm{iid}}{\sim}F$$

と書きます。iid は independent and identically distributed、すなわち独立同一分布の略です。

標本を得る前の $X_i$ は確率変数です。一方、実際に観測された数値は、

$$x_1,x_2,\ldots,x_n$$

と小文字で書きます。

独立同一分布は便利ですが、薬学・生命科学データでは自動的に成立しません。 同じマウスから得た500細胞、同じ患者の反復採血、同じプレート内のウェルは互いに依存しうるため、見かけの観測数をそのまま $n$ としてはいけません。

1.2 統計量とは

統計量は、未知母数を含まず、標本だけから計算できる関数です。

$$T=T(X_1,\ldots,X_n)$$

代表例は、標本平均、標本分散、標本比率です。

$$\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$$ $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$$ $$\hat p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I(X_i=1)$$

観測前には $T$ も確率変数なので、分布をもちます。この分布が標本分布です。

• 推定量：観測前の確率変数としての $\bar X$
• 推定値：データから得た具体的な数値としての $\bar x$
• 標本分布：標本を取り直したときの推定量の分布

ここを区別すると、「標本のヒストグラム」と「標本平均の標本分布」の混同を防げます。

1.3 標本平均の平均と分散

$E[X_i]=\mu$、$\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2$ とします。期待値の線形性から、

$$\begin{aligned} E[\bar X] &=E\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right]\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE[X_i]\\ &=\frac{1}{n}\cdot n\mu\\ &=\mu \end{aligned}$$

です。したがって $\bar X$ は $\mu$ の不偏推定量です。

独立性を使うと、

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(\bar X) &=\operatorname{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ &=\frac{1}{n^2}\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ &=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(X_i)\\ &=\frac{n\sigma^2}{n^2}\\ &=\frac{\sigma^2}{n} \end{aligned}$$

となります。標準偏差を取った、

$$\operatorname{SE}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

が標本平均の標準誤差です。

標本数を4倍にしても標準誤差は $1/2$ にしかなりません。標準誤差を $1/10$ にするには、独立な標本数を100倍にする必要があります。

1.4 なぜ標本分散は $n-1$ で割るのか

まず恒等式、

$$\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 = \sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-n(\bar X-\mu)^2$$

を導きます。

$X_i-\bar X=(X_i-\mu)-(\bar X-\mu)$ と置いて展開すると、

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 &=\sum_{i=1}^n\{(X_i-\mu)-(\bar X-\mu)\}^2\\ &=\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 -2(\bar X-\mu)\sum_{i=1}^n(X_i-\mu) +n(\bar X-\mu)^2. \end{aligned}$$

ここで、

$$\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)=n(\bar X-\mu)$$

なので、中央の項と最後の項をまとめると上の恒等式になります。両辺の期待値を取れば、

$$\begin{aligned} E\left[\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\right] &=n\sigma^2-n\operatorname{Var}(\bar X)\\ &=n\sigma^2-n\frac{\sigma^2}{n}\\ &=(n-1)\sigma^2. \end{aligned}$$

よって、

$$E[S^2] =E\left[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\right] =\sigma^2$$

です。平均を標本から推定したため、偏差 $X_i-\bar X$ には、

$$\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)=0$$

という1本の制約が入ります。自由に動ける偏差が $n-1$ 個になることが、自由度 $n-1$ の直感です。

1.5 薬学での読み方

ある条件で独立な6匹のマウスから得た反応量の平均が10、標本標準偏差が2なら、平均の推定標準誤差は、

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\bar X)=\frac{2}{\sqrt6}\approx0.816$$

です。一方、各マウスから100細胞を測って600点に増えても、処置を独立に受けた単位が6匹なら、処置効果の標本数を600とみなすのは擬似反復です。

2. 図を動かして全体像をつかむ

下の図では、同じテーマを5つの視点から確認できます。

• 標本平均：歪んだ母集団でも、標本数とともに標準化平均が正規分布へ近づく
• $t$・$\chi^2$・$F$：自由度で裾や歪みがどう変わるか
• 大数の法則：標本平均の経路とChebyshev上界
• デルタ法：比率を変換すると標準誤差がどう変わるか
• 順序・極値：最小値、$k$ 番目、最大値の分布

INTERACTIVE

標本分布と極限定理を動かして理解する

標本数や自由度を変え、有限標本の分布がどのように安定し、極限分布へ近づくかを比較します。

標本平均t・χ²・F大数の法則デルタ法順序・極値

母集団標準正規指数分布ベルヌーイ p=0.2標本数 n

5

理論上の E（標本平均）

標準誤差

シミュレーション歪度

シミュレーションは定理の証明ではありません。しかし、定理の条件と結論を視覚的に切り分ける助けになります。

3. 正規母集団からの代表的な標本分布

以降、

$$X_1,\ldots,X_n\overset{\mathrm{iid}}{\sim}N(\mu,\sigma^2)$$

とします。正規母集団では、標本数が小さくても次の結果が厳密に成立します。

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$ $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$$ $$\bar X\ \perp\ S^2$$

最後の記号 $\perp$ は独立を表します。

3.1 標本平均の分布の導出

まず、仮定と結論を分けて書きます。

$$X_1,\ldots,X_n \overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$$

とは、次の2つを同時に仮定するという意味です。

1. 各 $X_i$ が同じ正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に従う
2. $X_1,\ldots,X_n$ が互いに独立である

このとき示したい結論は、

$$\boxed{ \bar X \sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) }$$

です。

導出1：標準化した正規変数の和として見る

各 $X_i$ を標準化して、

$$Z_i=\frac{X_i-\mu}{\sigma}$$

と置きます。すると、

$$Z_1,\ldots,Z_n \overset{\mathrm{iid}}{\sim}N(0,1)$$

です。元の変数は、

$$X_i=\mu+\sigma Z_i$$

と書けます。これを標本平均へ代入します。

$$\begin{aligned} \bar X &=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\\ &=\frac1n\sum_{i=1}^n(\mu+\sigma Z_i)\\ &=\frac1n\left(n\mu+\sigma\sum_{i=1}^nZ_i\right)\\ &=\mu+\frac{\sigma}{n}\sum_{i=1}^nZ_i. \end{aligned}$$

ここで、和を標準偏差1になるように調整した、

$$Z=\frac1{\sqrt n}\sum_{i=1}^nZ_i$$

を考えます。期待値は、

$$E[Z] =\frac1{\sqrt n}\sum_{i=1}^nE[Z_i] =0$$

です。独立性を使うと分散は、

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(Z) &=\operatorname{Var}\left( \frac1{\sqrt n}\sum_{i=1}^nZ_i \right)\\ &=\frac1n\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(Z_i)\\ &=\frac1n\cdot n\\ &=1. \end{aligned}$$

さらに、独立な正規確率変数の線形結合は正規分布に従うため、

$$Z\sim N(0,1)$$

です。したがって、

$$\sum_{i=1}^nZ_i=\sqrt n Z$$

を先ほどの式へ戻すと、

$$\begin{aligned} \bar X &=\mu+\frac{\sigma}{n}\sqrt n Z\\ &=\mu+\frac{\sigma}{\sqrt n}Z. \end{aligned}$$

$Z\sim N(0,1)$ に定数を掛けて位置をずらした形なので、

$$\bar X \sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

を得ます。

導出2：積率母関数で分布そのものを確認する

上の導出で使った「正規変数の線形結合は正規分布」という性質を、積率母関数から確かめます。

積率母関数の定義は、

$$M_X(t)=E[e^{tX}]$$

です。$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ なら、密度を代入して、

$$M_X(t) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]dx$$

となります。指数部分を平方完成します。

$$tx-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} = -\frac{\{x-(\mu+\sigma^2t)\}^2}{2\sigma^2} +\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}.$$

したがって、$x$ に依存しない部分を積分の外へ出すと、

$$\begin{aligned} M_X(t) &=\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)\\ &\quad\times \int_{-\infty}^{\infty} \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[ -\frac{\{x-(\mu+\sigma^2t)\}^2}{2\sigma^2} \right]dx. \end{aligned}$$

後半の積分は、平均 $\mu+\sigma^2t$、分散 $\sigma^2$ の正規密度を全範囲で積分したものなので1です。よって、正規分布の積率母関数は、

$$M_X(t)=\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)$$

と導けました。

次に標本平均の積率母関数を計算します。

$$\begin{aligned} M_{\bar X}(t) &=E[e^{t\bar X}]\\ &=E\left[\exp\left(\frac{t}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)\right]\\ &=E\left[\prod_{i=1}^n \exp\left(\frac{t}{n}X_i\right)\right]. \end{aligned}$$

ここで独立性を使います。独立な確率変数の関数の積について、積の期待値を期待値の積へ分けられるので、

$$\begin{aligned} M_{\bar X}(t) &=\prod_{i=1}^nM_{X_i}\left(\frac{t}{n}\right)\\ &=\left[\exp\left(\frac{\mu t}{n}+\frac{\sigma^2t^2}{2n^2}\right)\right]^n\\ &=\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2n}\right). \end{aligned}$$

最後の式を、一般の正規分布の積率母関数、

$$\exp\left(at+\frac{b^2t^2}{2}\right)$$

と比較すると、

$$a=\mu, \qquad b^2=\frac{\sigma^2}{n}$$

です。積率母関数が0の近くで存在する場合、積率母関数は分布を一意に定めるため、

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

と結論できます。

数値例：標本数25なら標準偏差は5分の1

個体ごとの測定値が、

$$X_i\sim N(12,3^2)$$

に従うとします。独立な25個体の平均なら、

$$\bar X \sim N\left(12,\frac{3^2}{25}\right) =N(12,0.36)$$

です。標本平均の標準偏差、すなわち標準誤差は、

$$\frac3{\sqrt{25}}=0.6$$

です。個体値の標準偏差3に比べ、25個体の平均は標準偏差0.6まで集中します。

正規母集団でない場合は何が変わるか

$X_i$ が正規分布でなくても、独立同一分布で平均 $\mu$、有限な分散 $\sigma^2$ を持てば、

$$E[\bar X]=\mu, \qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}$$

は有限の $n$ でも厳密に成立します。

一方、分布の形が正規分布になることは有限の $n$ では一般に成立しません。中心極限定理により、$n\to\infty$ で、

$$\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{\sigma} \xrightarrow{d}N(0,1)$$

となるため、大きな $n$ では、

$$\bar X \approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

と近似します。

母集団	$E[\bar X]$ と $\operatorname{Var}(\bar X)$	$\bar X$ の分布
正規分布	厳密	任意の $n$ で厳密に正規分布
非正規・有限分散	厳密	大標本で正規近似
強い依存がある	共分散項が必要	単純なiidの結論は使えない
分散が存在しない	$\sigma^2/n$ と書けない	通常の中心極限定理をそのまま使えない

独立でないと分散は $\sigma^2/n$ にならない

一般には、

$$\operatorname{Var}(\bar X) =\frac1{n^2}\left\{ \sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(X_i) +2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \right\}$$

です。各変数の分散が $\sigma^2$、異なる2変数の相関がすべて $\rho$ なら、

$$\operatorname{Var}(\bar X) =\frac{\sigma^2}{n} \{1+(n-1)\rho\}$$

となります。$\rho>0$ なら、独立と仮定した $\sigma^2/n$ より分散は大きくなります。

同じ患者の反復測定や同じマウス由来の多数細胞では、この共分散項を無視できません。観測数が多くても、独立な情報量が同じ割合で増えるとは限らないためです。

3.2 カイ二乗分布

独立な標準正規確率変数 $Z_1,\ldots,Z_\nu$ に対して、

$$V=\sum_{j=1}^{\nu}Z_j^2$$

と置くと、$V$ は自由度 $\nu$ のカイ二乗分布に従います。

$$V\sim\chi^2_\nu$$

密度関数は、

$$f(v) =\frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)} v^{\nu/2-1}e^{-v/2}, \qquad v>0$$

です。これは形状母数 $\nu/2$、尺度母数2のガンマ分布です。

積率母関数から平均と分散を導く

カイ二乗分布の積率母関数は、

$$M_V(t)=(1-2t)^{-\nu/2},\qquad t<\frac12$$

です。微分すると、

$$M_V'(t)=\nu(1-2t)^{-\nu/2-1}$$

なので、

$$E[V]=M_V'(0)=\nu.$$

もう一度微分すると、

$$M_V''(t)=\nu(\nu+2)(1-2t)^{-\nu/2-2}$$

より、

$$E[V^2]=M_V''(0)=\nu(\nu+2).$$

したがって、

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(V) &=E[V^2]-\{E[V]\}^2\\ &=\nu(\nu+2)-\nu^2\\ &=2\nu. \end{aligned}$$

独立なカイ二乗変数は自由度を足せます。

$$V_1\sim\chi^2_{\nu_1},\quad V_2\sim\chi^2_{\nu_2},\quad V_1\perp V_2$$

なら、

$$V_1+V_2\sim\chi^2_{\nu_1+\nu_2}.$$

3.3 標本分散のカイ二乗分布

正規標本では、

$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} =\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 \sim\chi^2_{n-1}$$

です。

直交分解とCochranの定理

ここで知りたいのは、次の2つです。

1. なぜ全体のばらつきを「標本平均のずれ」と「平均まわりの残差」へ分けられるのか
2. なぜ分けた2つが、それぞれ自由度1と $n-1$ のカイ二乗分布になり、しかも独立なのか

先に図で全体像を見てから、式を導きます。

INTERACTIVE

平均方向と残差平面への直交分解

3個の標準化観測値を動かし、ベクトルと平方和が同じ2成分へ分かれることを確かめます。

観測値 z₁

1.80

観測値 z₂

0.40

観測値 z₃

-1.10

標本平均 z̄

全平方和 ‖z‖²

平均成分 ‖Pz‖²

残差成分 ‖Mz‖²

内積 ⟨Pz, Mz⟩ = なので交差項が消えます。

全体 z平均成分 Pz残差成分 Mz（実線は平行移動）

図の青いベクトルが観測データ全体、緑が全標本に共通する平均成分、橙が個々の観測値に残る残差成分です。緑と橙が直角なので、長さの2乗には三平方の定理が使えます。

射影行列を単変量と「影」で読む

単変量なら、方向が1つしかないので射影は $P=1$、残差側は $M=0$ です。多標本では $\mathbf Z$ を空間上の矢印とみなし、$P\mathbf Z$ は平均方向に落とした影、$M\mathbf Z=(I-P)\mathbf Z$ は影を引いた残りです。

1. $P\mathbf Z$ で平均に共通する成分を取り出す。
2. $M\mathbf Z=\mathbf Z-P\mathbf Z$ で残差成分を求める。
3. $(P\mathbf Z)^T(M\mathbf Z)=0$ を確認し、三平方の定理で平方和を分ける。

厳密な行列計算とCochranの定理の証明は、直後の★★★★★欄に折りたたんであります。

射影行列による厳密な導出

1段階目：データを1本のベクトルとして見る

正規標本を標準化したベクトルを、

$$\mathbf Z =\frac{1}{\sigma} \begin{pmatrix} X_1-\mu\\ \vdots\\ X_n-\mu \end{pmatrix} \sim N_n(\mathbf0,I_n)$$

とします。$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ なので、$\mathbf Z$ は「各観測値が母平均から何標準偏差離れたか」を縦に並べたものです。

全成分が同じ方向を向く単位ベクトルを、

$$\mathbf e=\frac{1}{\sqrt n}(1,\ldots,1)^\top$$

と置きます。例えば $n=3$ なら、$\mathbf e$ は $(1,1,1)$ 方向です。この方向へ進むと3個の値が同じ量だけ増減するため、平均だけを動かす方向だと解釈できます。

2段階目：平均方向へ射影する

$\mathbf Z$ の平均方向への射影は、

$$\begin{aligned} P\mathbf Z &=(\mathbf e\mathbf e^\top)\mathbf Z\\ &=(\mathbf e^\top\mathbf Z)\mathbf e \end{aligned}$$

です。ここで、

$$P=\mathbf e\mathbf e^\top$$

を平均方向への射影行列と呼びます。係数を計算すると、

$$\begin{aligned} \mathbf e^\top\mathbf Z &=\frac1{\sqrt n}\sum_{i=1}^n\frac{X_i-\mu}{\sigma}\\ &=\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{\sigma} \end{aligned}$$

なので、

$$P\mathbf Z =\frac{\bar X-\mu}{\sigma} \begin{pmatrix}1\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}$$

となります。つまり、射影後の各成分はすべて $(\bar X-\mu)/\sigma$ です。図の緑のベクトルがこの部分です。

3段階目：射影で説明できなかった残差を取り出す

残差成分は、元のベクトルから平均成分を引いて、

$$M\mathbf Z=(I_n-P)\mathbf Z, \qquad M=I_n-P$$

と書けます。第 $i$ 成分は、

$$\frac{X_i-\mu}{\sigma} -\frac{\bar X-\mu}{\sigma} =\frac{X_i-\bar X}{\sigma}$$

です。したがって、図の橙のベクトルには、標本平均を引いた後の個体差だけが残ります。

以上から、データベクトルは、

$$\boxed{ \mathbf Z=P\mathbf Z+M\mathbf Z }$$

と分解されます。

4段階目：なぜ「直交」しているのか

平均成分と残差成分の内積を取ります。平均成分の各要素は同じ値なので、

$$\begin{aligned} (P\mathbf Z)^\top(M\mathbf Z) &=\frac{\bar X-\mu}{\sigma} \sum_{i=1}^n\frac{X_i-\bar X}{\sigma}\\ &=\frac{\bar X-\mu}{\sigma^2} \underbrace{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)}_{=0}\\ &=0. \end{aligned}$$

内積が0なので、2つのベクトルは直交しています。行列では、

$$PM=P(I_n-P)=P-P^2=0$$

とも確認できます。射影行列は同じ射影を2回行っても結果が変わらないため、$P^2=P$ です。 $P$ は対称行列でもあり、$P^\top=P$ です。同様に、$M^\top=M$、$M^2=M$ が成り立ちます。

5段階目：直交すると平方和が足し算になる

直交する2つのベクトルには三平方の定理が成り立つので、

$$\|\mathbf Z\|^2 =\|P\mathbf Z\|^2+\|M\mathbf Z\|^2$$

です。各項を元の変数で書くと、

$$\boxed{ \frac1{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 = \frac{n(\bar X-\mu)^2}{\sigma^2} + \frac1{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 }$$

となります。最後の項は標本分散の定義から、

$$\frac1{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 =\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$$

です。したがって平方和の分解は、

$$\underbrace{\frac1{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}_{\text{全体：自由度 }n} = \underbrace{\frac{n(\bar X-\mu)^2}{\sigma^2}}_{\text{平均：自由度 }1} + \underbrace{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}_{\text{残差：自由度 }n-1}$$

と書けます。

左辺は独立な標準正規変数の二乗和なので、

$$\|\mathbf Z\|^2 =\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim\chi^2_n$$

です。Cochranの定理は、この自由度 $n$ の全平方和が、直交する部分空間の次元に応じて $1+(n-1)$ へ分かれることを保証します。

6段階目：Cochranの定理で分布と独立性を得る

Cochranの定理を、この場面で必要な形に絞って述べます。

$\mathbf Z\sim N_n(\mathbf0,I_n)$ を、互いに直交する部分空間へ射影する。各射影行列を $A_j$ とし、$A_j^\top=A_j$、$A_j^2=A_j$、$A_jA_k=0\ (j\ne k)$、$\sum_jA_j=I_n$ が成り立つとする。このとき、二次形式 $\mathbf Z^\top A_j\mathbf Z$ は互いに独立で、それぞれ $\chi^2_{\operatorname{rank}(A_j)}$ に従う。

今回の射影行列は $P$ と $M=I_n-P$ です。

成分	射影先	行列の階数	二次形式	分布
平均成分	$\operatorname{span}(\mathbf e)$	1	$\mathbf Z^\top P\mathbf Z=n(\bar X-\mu)^2/\sigma^2$	$\chi^2_1$
残差成分	$\mathbf e$ に直交する空間	$n-1$	$\mathbf Z^\top M\mathbf Z=(n-1)S^2/\sigma^2$	$\chi^2_{n-1}$

$P$ の射影先は1本の直線なので階数1です。一方、$n$ 次元空間から平均方向の1次元を使った残りが残差空間なので、$M$ の階数は $n-1$ です。この「使える独立な方向の数」が自由度です。

よってCochranの定理から、

$$\frac{n(\bar X-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1, \qquad \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$$

を得ます。さらに、この2つの二次形式は独立です。

標本平均と標本分散の独立性を結論するときは、もう一歩だけ丁寧に考えます。正規ベクトルを直交射影した $P\mathbf Z$ と $M\mathbf Z$ は、共分散が0の同時正規ベクトルなので互いに独立です。平均成分そのものは、

$$\mathbf e^\top\mathbf Z =\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{\sigma} \sim N(0,1)$$

です。$\bar X$ は $P\mathbf Z$ だけから決まり、$S^2$ は $M\mathbf Z$ だけから決まるため、

$$\bar X\perp S^2$$

と結論できます。

3.4 標本平均と標本分散の独立性

上の分解で、平均方向と残差方向は直交しています。多変量正規分布では、直交する線形成分は無相関であるだけでなく独立です。 したがって、

$$\bar X\perp S^2$$

が得られます。

この独立性は、一般の母集団では通常成立しません。例えば強く歪んだ母集団では、極端な値が標本平均と標本分散を同時に押し上げるため、両者が依存しやすくなります。

4. $t$ 分布

4.1 定義

$Z\sim N(0,1)$、$V\sim\chi^2_\nu$ が独立であるとき、

$$T=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}$$

は自由度 $\nu$ の $t$ 分布に従います。

$$T\sim t_\nu$$

標準正規分布を、推定された標準偏差で割るため、分母の不確実性の分だけ正規分布より裾が厚くなります。

密度関数は、

$$f(t)= \frac{\Gamma\{(\nu+1)/2\}} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)} \left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}, \qquad -\infty<t<\infty$$

です。

4.2 1標本 $t$ 統計量

正規標本では、

$$Z=\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{\sigma}\sim N(0,1)$$

かつ、

$$V=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$$

であり、$Z$ と $V$ は独立です。したがって、

$$\begin{aligned} \frac{Z}{\sqrt{V/(n-1)}} &= \frac{\sqrt n(\bar X-\mu)/\sigma} {\sqrt{\{(n-1)S^2/\sigma^2\}/(n-1)}}\\ &= \frac{\sqrt n(\bar X-\mu)/\sigma}{S/\sigma}\\ &= \frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n} \sim t_{n-1}. \end{aligned}$$

これが母分散未知の平均推測に $t$ 分布を使う理由です。

4.3 積率と自由度

$t$ 分布は0を中心に対称です。ただし、積率は常に存在するわけではありません。

性質	条件	値
平均	$\nu>1$	$0$
分散	$\nu>2$	$\nu/(\nu-2)$
4次積率	$\nu>4$	$3\nu^2/\{(\nu-2)(\nu-4)\}$

自由度1の $t$ 分布は標準Cauchy分布です。平均も分散も存在しません。 自由度が大きくなると、

$$t_\nu\xrightarrow{d}N(0,1)$$

となります。

4.4 小標本の薬物動態例

独立な8人の被験者で、対数AUCの平均が4.20、標本標準偏差が0.30だったとします。母平均の95%信頼区間は、$t_{7,0.975}=2.365$ を用いて、

$$\begin{aligned} \bar x\pm t_{7,0.975}\frac{s}{\sqrt n} &=4.20\pm2.365\frac{0.30}{\sqrt8}\\ &=4.20\pm0.251 \end{aligned}$$

です。対数尺度での区間は $(3.949,4.451)$ です。元の尺度へ戻すなら単に中心と幅を指数変換するのではなく、両端を指数変換して、

$$(e^{3.949},e^{4.451})$$

とします。

5. $F$ 分布

5.1 定義

独立な、

$$U\sim\chi^2_{\nu_1},\qquad V\sim\chi^2_{\nu_2}$$

に対して、

$$F=\frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}$$

は自由度 $(\nu_1,\nu_2)$ の $F$ 分布に従います。

$$F\sim F_{\nu_1,\nu_2}$$

密度関数は、

$$f(x)= \frac{1}{B(\nu_1/2,\nu_2/2)} \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\nu_1/2} x^{\nu_1/2-1} \left(1+\frac{\nu_1}{\nu_2}x\right)^{-(\nu_1+\nu_2)/2}, \quad x>0$$

です。

5.2 重要な性質

$$F\sim F_{\nu_1,\nu_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{F}\sim F_{\nu_2,\nu_1}$$

また、

$$T\sim t_\nu \quad\Longrightarrow\quad T^2\sim F_{1,\nu}$$

です。後者は、

$$T^2=\frac{Z^2/1}{V/\nu}$$

であり、$Z^2\sim\chi^2_1$ だから分かります。

平均と分散は、

$$E[F]=\frac{\nu_2}{\nu_2-2},\qquad \nu_2>2$$ $$\operatorname{Var}(F) =\frac{2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)} {\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)}, \qquad \nu_2>4$$

です。

5.3 2つの分散の比

独立な2つの正規標本について、

$$\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2}\sim\chi^2_{n_1-1}, \qquad \frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}\sim\chi^2_{n_2-1}$$

なので、

$$\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F_{n_1-1,n_2-1}.$$

帰無仮説 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ のもとでは、

$$\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-1,n_2-1}$$

です。ただし、分散比検定は非正規性に敏感です。測定値が強く歪む場合や外れ値を含む場合は、変換、Levene検定、Brown–Forsythe検定、またはモデルに応じた頑健法を検討します。

6. 確率変数の収束

標本数 $n$ とともに変わる確率変数列 $X_1,X_2,\ldots$ を考えます。「収束」には複数の意味があり、何を同じ確率空間上で比較するかが異なります。

6.1 確率収束

任意の $\varepsilon>0$ に対して、

$$P(|X_n-X|>\varepsilon)\to0$$

となるとき、$X_n$ は $X$ に確率収束するといいます。

$$X_n\xrightarrow{p}X$$

「大きなずれが生じる確率が0へ近づく」という意味です。推定量 $\hat\theta_n$ が真値 $\theta$ に確率収束するとき、$\hat\theta_n$ は一致推定量です。

6.2 分布収束

$F_n$ と $F$ をそれぞれ $X_n$ と $X$ の分布関数とします。$F$ のすべての連続点 $x$ で、

$$F_n(x)\to F(x)$$

となるとき、$X_n$ は $X$ に分布収束するといいます。

$$X_n\xrightarrow{d}X$$

分布収束は確率収束より弱い概念です。例えば、各 $X_n$ が独立に $N(0,1)$ に従うなら、分布は最初から $N(0,1)$ なので、

$$X_n\xrightarrow{d}N(0,1)$$

と書けます。しかし、$X_n$ 同士は独立に動き続けるため、同じ確率変数へ確率収束するわけではありません。

6.3 概収束

$$P\left(\lim_{n\to\infty}X_n=X\right)=1$$

のとき、$X_n$ は $X$ に概収束、またはほとんど確実に収束するといいます。

$$X_n\xrightarrow{a.s.}X$$

これは、確率1で、標本経路を固定して見たときに最終的に $X$ へ近づくという強い主張です。

6.4 平均二乗収束

$$E[(X_n-X)^2]\to0$$

のとき、平均二乗収束といいます。

$$X_n\xrightarrow{L^2}X$$

Chebyshevの不等式により、

$$P(|X_n-X|>\varepsilon) \leq\frac{E[(X_n-X)^2]}{\varepsilon^2} \to0$$

なので、平均二乗収束は確率収束を導きます。

収束関係をまとめると、

$$X_n\xrightarrow{a.s.}X \Longrightarrow X_n\xrightarrow{p}X \Longrightarrow X_n\xrightarrow{d}X$$

および、

$$X_n\xrightarrow{L^2}X \Longrightarrow X_n\xrightarrow{p}X$$

です。逆向きは一般には成立しません。

7. Chebyshevの不等式と大数の弱法則

7.1 Markovの不等式から導く

非負確率変数 $Y$ と $a>0$ に対して、

$$P(Y\geq a)\leq\frac{E[Y]}{a}$$

がMarkovの不等式です。

$Y=(X-\mu)^2$、$a=\varepsilon^2$ と置くと、

$$\begin{aligned} P(|X-\mu|\geq\varepsilon) &=P\{(X-\mu)^2\geq\varepsilon^2\}\\ &\leq\frac{E[(X-\mu)^2]}{\varepsilon^2}\\ &=\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}. \end{aligned}$$

これがChebyshevの不等式です。分布の形を仮定せず、平均と分散だけで裾確率を抑えられます。

7.2 大数の弱法則

$X_1,X_2,\ldots$ が独立同一分布で、

$$E[X_i]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty$$

とします。標本平均にChebyshevの不等式を使うと、

$$\begin{aligned} P(|\bar X_n-\mu|\geq\varepsilon) &\leq\frac{\operatorname{Var}(\bar X_n)}{\varepsilon^2}\\ &=\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\\ &\to0. \end{aligned}$$

よって、

$$\bar X_n\xrightarrow{p}\mu.$$

これが大数の弱法則です。

注意すべき点は、有限の $n$ で $\bar X_n=\mu$ になるとは言っていないことです。また、Chebyshev上界はしばしば粗く、1を超える場合は確率の上界として実質的な情報を与えません。

7.3 薬学的な意味

独立な個体から薬物応答を集め、同じ母集団からの標本とみなせるなら、標本平均は母平均へ近づきます。しかし、施設構成が $n$ とともに変わる、選択基準が変わる、測定法に系統誤差がある場合、単に標本数を増やしても目的とする母平均へ近づく保証はありません。

大数の法則が抑えるのは確率的なばらつきです。選択バイアス、測定バイアス、交絡は別に検討する必要があります。

8. 中心極限定理

8.1 iid中心極限定理

$X_1,X_2,\ldots$ が独立同一分布で、

$$E[X_i]=\mu,\qquad 0<\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty$$

なら、

$$\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sigma\sqrt n} = \frac{\sqrt n(\bar X_n-\mu)}{\sigma} \xrightarrow{d}N(0,1).$$

したがって、$n$ が十分大きいとき、

$$\bar X_n\ \dot\sim\ N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

と近似できます。記号 $\dot\sim$ は近似的に従うという意味です。

母集団が正規分布なら、この分布は任意の $n$ で厳密です。母集団が非正規なら、大標本での近似です。

8.2 Lévyの連続性定理：特性関数から分布収束を読む

Lévy（レヴィ）の連続性定理は、確率分布の収束を、特性関数の収束へ翻訳する定理です。 中心極限定理の証明では、複雑な「和の分布」を直接求める代わりに、特性関数を掛け算して極限を調べます。

まず、特性関数は何を表すか

確率変数 $X$ の特性関数を、

$$\varphi_X(t)=E[e^{itX}] =E[\cos(tX)]+iE[\sin(tX)],\qquad t\in\mathbb R$$

と定義します。$i^2=-1$ です。実部は $E[\cos(tX)]$、虚部は $E[\sin(tX)]$ であり、分布をさまざまな「周波数 $t$」で調べた結果だと考えられます。

特性関数には次の利点があります。

性質	なぜ重要か
常に存在する	$\lvert e^{itX}\rvert=1$ なので、裾の重い分布でも期待値が定義できる
分布を一意に決める	すべての $t$ に対する $\varphi_X(t)$ が同じなら、分布も同じ
独立な和を積へ変える	$X,Y$ が独立なら $\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$
原点では1	$\varphi_X(0)=E[1]=1$

積率母関数 $M_X(t)=E[e^{tX}]$ は存在しない場合がありますが、特性関数は常に存在します。そのため、一般的な分布収束を扱うときに強力です。

定理の正確な主張

$X_n$ の特性関数を $\varphi_n$ とします。Lévyの連続性定理は、次の2方向を結びます。

$$\boxed{ X_n\xrightarrow{d}X \quad\Longleftrightarrow\quad \varphi_n(t)\to\varphi_X(t)\ \text{for every }t }$$

ただし、右から左へ進むときには、点ごとの極限

$$\varphi(t)=\lim_{n\to\infty}\varphi_n(t)$$

が $t=0$ で連続であることを確認します。すると、$\varphi$ はある確率変数 $X$ の特性関数となり、$X_n\xrightarrow{d}X$ が成り立ちます。

「分布収束なら特性関数収束」の証明

分布収束 $X_n\xrightarrow{d}X$ には、「任意の有界連続関数 $g$ に対して $E[g(X_n)]\to E[g(X)]$」という同値な特徴づけがあります。

固定した $t$ に対して、$g_t(x)=e^{itx}$ は連続であり、$|g_t(x)|=1$ なので有界です。したがって、

$$E[e^{itX_n}]\to E[e^{itX}],$$

すなわち、

$$\varphi_n(t)\to\varphi_X(t)$$

が得られます。こちらの方向は「分布収束の定義に、有界連続関数 $e^{itx}$ を代入しただけ」です。

なぜ「原点で連続」が必要なのか

$X_a\sim U(-a,a)$ とします。この特性関数は、密度 $1/(2a)$ を積分して、

$$\begin{aligned} \varphi_a(t) &=\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}e^{itx}\,dx\\ &=\frac{e^{ita}-e^{-ita}}{2ait}\\ &=\frac{\sin(at)}{at} \end{aligned}$$

です。ただし $t=0$ では $\varphi_a(0)=1$ とします。

$a\to\infty$ のとき、固定した $t\ne0$ では $\sin(at)/(at)\to0$ ですが、$t=0$ では常に1です。したがって、点ごとの極限は、

$$\varphi(t)= \begin{cases} 1,&t=0,\\ 0,&t\ne0 \end{cases}$$

となり、原点で不連続です。これは確率分布の特性関数にはなれません。$U(-a,a)$ の確率の質量が左右の無限遠へ広がり、実数上に極限分布が残らないことに対応します。

下の「正規分布へ収束」では、$P(Y_i=1)=P(Y_i=-1)=1/2$ とした標準化和 $n^{-1/2}\sum_iY_i$ を表示します。「質量が無限遠へ逃げる」では、上の一様分布の反例を表示します。

INTERACTIVE

特性関数の極限を目で確かめる

曲線の各点での収束と、原点での連続性が果たす役割を比較します。

正規分布へ収束質量が無限遠へ逃げる

和に含める個数 n

4

t = 1 での差

原点での値

結論

φₙ(t) = [cos(t/√n)]ⁿ極限 e⁻ᵗ²⁄²

発展：逆向きの証明は、なぜ成り立つか

「特性関数が収束すれば分布も収束する」という逆向きが難しい部分です。骨格は、原点付近の情報で確率が無限遠へ逃げるのを防ぎ、収束部分列を取り出すことです。

手順1：原点付近の特性関数で裾確率を抑える

$T>0$ とします。$|x|\ge 2/T$ なら $|Tx|\ge2$ なので、

$$1-\frac{\sin(Tx)}{Tx}\ge\frac12$$

です。これを $X_n$ に適用すると、

$$\begin{aligned} P\left(|X_n|\ge\frac2T\right) &\le E\left[2\left\{1-\frac{\sin(TX_n)}{TX_n}\right\}\right]\\ &=\frac1T\int_{-T}^{T}\{1-\operatorname{Re}\varphi_n(t)\}\,dt. \end{aligned}$$

最後の等号は、積分と期待値を交換し、

$$\frac1T\int_{-T}^{T}\cos(tx)\,dt =2\frac{\sin(Tx)}{Tx}$$

を使ったものです。

手順2：原点での連続性から、右辺を小さくする

$\varphi_n(t)\to\varphi(t)$ なので、固定した $T$ に対して右辺は、

$$\frac1T\int_{-T}^{T}\{1-\operatorname{Re}\varphi(t)\}\,dt$$

へ近づきます。$\varphi(0)=1$ で、$\varphi$ が0で連続なら、$T$ を小さくすることでこの値をいくらでも小さくできます。

これは、十分大きい $R=2/T$ を選べば、すべての大きな $n$ について $P(|X_n|>R)$ を小さくできるということです。この性質を緊密性といいます。

手順3：部分列の極限を一意に定める

緊密な分布列からは、分布収束する部分列を取り出せます。これをHellyの選出定理、より一般にはProkhorovの定理で保証します。

部分列の極限を $X$ とすると、すでに証明した正方向から、その特性関数は $\varphi$ です。特性関数は分布を一意に決めるので、どの収束部分列を選んでも同じ分布に到達します。したがって、列全体がその分布へ収束します。

8.3 Lévyの連続性定理から中心極限定理を導く

ここから、Lévyの連続性定理を中心極限定理へ実際に使います。標準化変数を、

$$Y_i=\frac{X_i-\mu}{\sigma}$$

とすると、$E[Y_i]=0$、$E[Y_i^2]=1$ です。

手順1：原点付近で特性関数を展開する

実数 $v$ に対して、Taylor展開の積分形から、

$$e^{iv}=1+iv-v^2\int_0^1(1-s)e^{isv}\,ds$$

と書けます。したがって、$v=uY_i$ を代入し期待値を取ると、

$$\varphi_Y(u) =1+iuE[Y_i]-u^2E\left[Y_i^2\int_0^1(1-s)e^{isuY_i}\,ds\right].$$

$u\to0$ なら積分部分は $\int_0^1(1-s)ds=1/2$ へ近づきます。また、その絶対値は常に $1/2$ 以下なので、$E[Y_i^2]<\infty$ のもとで極限と期待値を交換できます。よって、

$$\varphi_Y(u) =1+iuE[Y_i]-\frac{u^2}{2}E[Y_i^2]+o(u^2) =1-\frac{u^2}{2}+o(u^2).$$

一次の項が消えるのは $E[Y_i]=0$、二次の係数が $-1/2$ になるのは $E[Y_i^2]=1$ だからです。

手順2：独立な和を積へ変える

標準化和を、

$$Z_n=\frac{1}{\sqrt n}\sum_{i=1}^nY_i$$

とします。独立性から、

$$\begin{aligned} \varphi_{Z_n}(t) &=\prod_{i=1}^n\varphi_Y\left(\frac{t}{\sqrt n}\right)\\ &=\left\{\varphi_Y\left(\frac{t}{\sqrt n}\right)\right\}^n\\ &=\left\{1-\frac{t^2}{2n}+o\left(\frac1n\right)\right\}^n. \end{aligned}$$

手順3：極限を既知の特性関数と照合する

$(1+c/n)^n\to e^c$ と同じ形なので、各固定 $t$ に対して、

$$\varphi_{Z_n}(t)\to e^{-t^2/2}.$$

$e^{-t^2/2}$ は $N(0,1)$ の特性関数で、もちろん原点で連続です。Lévyの連続性定理により、

$$Z_n=\frac{\sqrt n(\bar X_n-\mu)}{\sigma}\xrightarrow{d}N(0,1)$$

が得られます。

よく出る別例：二項分布からポアソン分布

$B_n\sim\operatorname{Bin}(n,\lambda/n)$ とします。1回のBernoulli試行の特性関数は $1+(\lambda/n)(e^{it}-1)$ なので、

$$\begin{aligned} \varphi_{B_n}(t) &=\left\{1+\frac{\lambda}{n}(e^{it}-1)\right\}^n\\ &\to\exp\{\lambda(e^{it}-1)\}. \end{aligned}$$

右辺は $\operatorname{Poisson}(\lambda)$ の特性関数で、原点で連続です。したがって、

$$\operatorname{Bin}(n,\lambda/n)\xrightarrow{d}\operatorname{Poisson}(\lambda)$$

となります。「多数回の試行で、1回の発生確率は小さい」という希少事象の近似です。

医薬・生命科学・機械学習での読み方

• 薬効測定の平均：個体ごとの測定誤差が独立で分散有限なら、平均応答の誤差は正規分布へ近づきます。
• 希少な有害事象：対象者数が多く、各人の発生確率が小さい状況では、二項分布からポアソン分布への極限が件数モデルを支えます。
• ミニバッチ学習：各データ点の勾配寄与が独立に近く、極端な裾を持たなければ、ミニバッチ平均の揺らぎを正規近似する発想につながります。

ただし、同一個体からの反復測定、施設内相関、時系列依存、非常に裾の重い誤差では独立性や有限分散が崩れます。Lévyの定理自体が壊れるのではなく、中心極限定理へ至る途中の仮定が満たされているかを見直します。

8.4 二項分布の正規近似

$Y\sim\operatorname{Bin}(n,p)$ は独立なBernoulli変数の和なので、

$$\frac{Y-np}{\sqrt{np(1-p)}}\ \dot\sim\ N(0,1)$$

です。

例えば、$Y\sim\operatorname{Bin}(100,0.2)$ に対して $P(Y\leq25)$ を近似します。離散分布を連続分布で近似するため連続補正を使い、

$$P(Y\leq25)\approx P\left( Z\leq\frac{25.5-20}{\sqrt{16}} \right) =P(Z\leq1.375).$$

標準正規分布表から約0.915です。

8.5 中心極限定理を使えない・注意が必要な場面

• 分散が存在しないほど裾が重い分布
• 強い依存がある時系列、空間データ、同一個体内の反復測定
• 極端に歪んだ分布で標本数が小さい場合
• $n$ が大きくても、まれな事象で $np$ または $n(1-p)$ が小さい場合
• 観測数は多いが、独立なクラスター数が少ない場合

「$n\geq30$ なら必ず正規近似できる」という定理はありません。必要な $n$ は歪度、裾の重さ、求めたい裾確率、依存構造によって変わります。

9. 連続写像定理とSlutskyの定理

9.1 連続写像定理

$X_n\xrightarrow{p}X$ で、関数 $g$ が $X$ の取りうる点で連続なら、

$$g(X_n)\xrightarrow{p}g(X)$$

です。分布収束版もあり、適切な連続性のもとで、

$$X_n\xrightarrow{d}X \quad\Longrightarrow\quad g(X_n)\xrightarrow{d}g(X)$$

となります。

例えば、$\hat\theta_n\xrightarrow{p}\theta$ かつ $\theta>0$ なら、

$$\log\hat\theta_n\xrightarrow{p}\log\theta, \qquad \sqrt{\hat\theta_n}\xrightarrow{p}\sqrt\theta.$$

9.2 Slutskyの定理

$$X_n\xrightarrow{d}X, \qquad Y_n\xrightarrow{p}c$$

で、$c$ が定数なら、

$$X_n+Y_n\xrightarrow{d}X+c$$ $$X_nY_n\xrightarrow{d}cX$$

さらに $c\neq0$ なら、

$$\frac{X_n}{Y_n}\xrightarrow{d}\frac{X}{c}$$

です。

中心極限定理から、

$$\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{\sigma}\xrightarrow{d}N(0,1)$$

であり、大数の法則から $S\xrightarrow{p}\sigma$ です。したがって、

$$\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{S} = \frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}{\sigma}\cdot\frac{\sigma}{S} \xrightarrow{d}N(0,1)$$

となります。母分散を標本分散で置き換えられる漸近的な根拠です。

10. デルタ法

デルタ法は、漸近正規な推定量を滑らかな関数で変換したとき、変換後の標準誤差と極限分布を求める方法です。

例えば、母平均 $\mu$ の推定量 $\bar X$ があっても、実際に知りたい量が $\log\mu$、$\mu^2$、オッズ $\mu/(1-\mu)$、2つの母数の比 $\theta_1/\theta_2$ であることがあります。デルタ法を使うと、元の推定量の分散から変換後の分散を近似できます。

分かっている情報	デルタ法へ入れるもの	得られるもの
$\hat\theta$ の漸近分布	変換 $g$ と導関数 $g'(\theta)$	$g(\hat\theta)$ の漸近分布
$\hat\theta$ の標準誤差	局所的な傾き $\lvert g'(\theta)\rvert$	$g(\hat\theta)$ の近似標準誤差
複数推定量の共分散行列	勾配 $\nabla g(\theta)$	比、差、予測値などの近似分散

10.1 連続写像定理との違い

連続写像定理から、

$$\hat\theta_n\xrightarrow{p}\theta \quad\Longrightarrow\quad g(\hat\theta_n)\xrightarrow{p}g(\theta)$$

までは分かります。しかし、これは「変換後の推定量がどこへ近づくか」だけで、どのくらいの速さ・ばらつきで近づくかを教えません。

デルタ法は、さらに、

$$\sqrt n\{g(\hat\theta_n)-g(\theta)\}$$

の極限分布を与えます。したがって、標準誤差、信頼区間、Wald検定まで作れるようになります。

INTERACTIVE

曲線を接線で近似する

推定値の揺らぎを導関数で拡大・縮小する、デルタ法の中身を図示します。

対数平方根オッズ

中心 θ

2.00

元の標準誤差 s

0.25

変換後の中心 g(θ)

局所的な傾き g′(θ)

デルタ法の標準誤差

接線による対称近似

元尺度の区間端点を変換

変換関数 g(x)θ における接線元の推定量の約95%範囲

図の青線が本当の変換、赤い破線が一次Taylor近似です。標準誤差 $s$ を大きくすると黄色の範囲が広がり、曲線と接線の差が大きくなります。これは、小標本や強い非線形性のもとでデルタ法の精度が落ちる理由です。

10.2 Taylor展開から1変量デルタ法を導く

推定量が、

$$\sqrt n(\hat\theta_n-\theta) \xrightarrow{d}N(0,\tau^2)$$

を満たすとします。これは、大まかには、

$$\hat\theta_n-\theta=O_p(n^{-1/2})$$

すなわち「推定誤差の大きさが $1/\sqrt n$ 程度」という意味です。

手順1：曲線を接線で近似する

$g$ が $\theta$ で微分可能なら、1次Taylor展開により、

$$g(\hat\theta_n) =g(\theta) +g'(\theta)(\hat\theta_n-\theta) +R_n$$

と書けます。$R_n$ は曲線と接線のずれを表す剰余項です。

手順2：$\sqrt n$ を掛ける

両辺から $g(\theta)$ を引いて $\sqrt n$ を掛けると、

$$\sqrt n\{g(\hat\theta_n)-g(\theta)\} =g'(\theta)\sqrt n(\hat\theta_n-\theta) +\sqrt nR_n.$$

微分可能性から $R_n=o_p(\lvert\hat\theta_n-\theta\rvert)$ であり、

$$\sqrt nR_n=o_p(1)$$

となります。したがって、漸近的には、

$$\sqrt n\{g(\hat\theta_n)-g(\theta)\} \approx g'(\theta)\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)$$

です。

手順3：正規分布の倍率を変える

もし $Z\sim N(0,\tau^2)$ なら、定数 $a$ に対して、

$$aZ\sim N(0,a^2\tau^2)$$

です。Slutskyの定理を使うと、

$$\boxed{ \sqrt n\{g(\hat\theta_n)-g(\theta)\} \xrightarrow{d} N\left(0,\{g'(\theta)\}^2\tau^2\right) }$$

が得られます。これが1変量デルタ法です。

元の推定量の近似分散が $\tau^2/n$ なら、

$$\operatorname{Var}\{g(\hat\theta_n)\} \approx \frac{\{g'(\theta)\}^2\tau^2}{n} = \{g'(\theta)\}^2\operatorname{Var}(\hat\theta_n).$$

標準偏差では絶対値を取るので、

$$\operatorname{SE}\{g(\hat\theta_n)\} \approx \lvert g'(\theta)\rvert\operatorname{SE}(\hat\theta_n).$$

発展：剰余項が消えることの確認

微分可能性の定義から、$h\to0$ のとき、

$$g(\theta+h)-g(\theta) =g'(\theta)h+h\varepsilon(h), \qquad \varepsilon(h)\to0$$

と書けます。$h=\hat\theta_n-\theta$ とすると、漸近正規性から $\hat\theta_n\xrightarrow{p}\theta$ なので、

$$\varepsilon(\hat\theta_n-\theta)\xrightarrow{p}0.$$

また、$\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)=O_p(1)$ です。よって、

$$\sqrt nR_n = \sqrt n(\hat\theta_n-\theta) \varepsilon(\hat\theta_n-\theta) =O_p(1)o_p(1) =o_p(1).$$

この積が消えるため、一次項だけが極限分布へ残ります。

10.3 実際の標準誤差を計算する5手順

実務では $\theta$、$\tau$、$\Sigma$ は未知です。そこで一致推定量を代入します。

1. 元の推定量の漸近分布を確認する。
2. 目的量を $g(\theta)$ として書く。
3. $g'(\theta)$、多変量なら $\nabla g(\theta)$ を計算する。
4. 未知母数を $\hat\theta$、未知分散を推定値で置き換える。
5. 近似標準誤差と信頼区間を作る。

1変量なら、プラグイン標準誤差は、

$$\widehat{\operatorname{SE}}\{g(\hat\theta)\} = \lvert g'(\hat\theta)\rvert \widehat{\operatorname{SE}}(\hat\theta)$$

です。導関数を真値 $\theta$ ではなく推定値 $\hat\theta$ で評価しても、$\hat\theta\xrightarrow{p}\theta$ とSlutskyの定理により漸近的には同じです。

10.4 例1：対数変換を途中計算から

$X_1,\ldots,X_n$ が独立同一分布で、

$$E[X_i]=\mu>0,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2$$

とします。中心極限定理から、

$$\sqrt n(\bar X-\mu)\xrightarrow{d}N(0,\sigma^2).$$

$g(x)=\log x$ と置くと、

$$g'(\mu)=\frac1\mu.$$

したがってデルタ法より、

$$\sqrt n\{\log\bar X-\log\mu\} \xrightarrow{d} N\left(0,\frac{\sigma^2}{\mu^2}\right).$$

$\log\bar X$ 自体の近似分散と標準誤差は、

$$\operatorname{Var}(\log\bar X) \approx\frac{\sigma^2}{n\mu^2}, \qquad \operatorname{SE}(\log\bar X) \approx\frac{\sigma}{\mu\sqrt n}.$$

実際には $\mu,\sigma$ が未知なので、

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\log\bar X) =\frac{S}{\bar X\sqrt n}$$

と推定します。右辺は「変動係数を $\sqrt n$ で割ったもの」です。

例えば $\bar X=120$、$S=30$、$n=36$ なら、

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\log\bar X) =\frac{30}{120\sqrt{36}} =\frac{30}{720} \approx0.0417.$$

薬物動態量の倍率変化では、対数尺度で標準誤差を評価し、最後に指数変換で元の倍率尺度へ戻す考え方につながります。ただし、この例は「標本平均を取ってから対数変換」しています。生物学的同等性試験では通常、各被験者のAUCや $C_{\max}$ を先に対数変換してからモデル化するため、両者を同じ計算だと考えてはいけません。

10.5 多変量デルタ法

$k$ 個の推定量をまとめたベクトル $\hat{\boldsymbol\theta}$ が、

$$\sqrt n(\hat{\boldsymbol\theta}-\boldsymbol\theta) \xrightarrow{d} N_k(\mathbf0,\Sigma)$$

を満たすとします。$g:\mathbb R^k\to\mathbb R$ を微分可能とすると、一次Taylor展開は、

$$g(\hat{\boldsymbol\theta})-g(\boldsymbol\theta) \approx \nabla g(\boldsymbol\theta)^\top (\hat{\boldsymbol\theta}-\boldsymbol\theta)$$

です。したがって、

$$\boxed{ \sqrt n\{g(\hat{\boldsymbol\theta})-g(\boldsymbol\theta)\} \xrightarrow{d} N\left( 0, \nabla g(\boldsymbol\theta)^\top \Sigma \nabla g(\boldsymbol\theta) \right) }$$

となります。勾配は「各入力を少し動かしたとき、出力がどれだけ動くか」を並べたベクトルです。

多変量デルタ法を単変量と成分表示へ戻す

$k=1$ なら、極限分散は $\{g'(\theta)\}^2\sigma^2$ で、通常のデルタ法です。2変量で勾配を $(g_1,g_2)^T$ とすると、行列による式は $g_1^2\sigma_{11}+g_2^2\sigma_{22}+2g_1g_2\sigma_{12}$ へ展開できます。

1. $g$ を各パラメータで偏微分し、勾配を作る。
2. $\Sigma\nabla g$ を計算して、各推定量の分散・共分散を感度で重み付けする。
3. 左から $(\nabla g)^T$ を掛けて1個の分散へ合計する。
4. $\hat{\boldsymbol\theta}$ 自体の分散が必要なら、最後に $n$ で割る。

比 $\theta_1/\theta_2$ の分散

$$g(\theta_1,\theta_2)=\frac{\theta_1}{\theta_2}$$

なら、

$$\nabla g(\boldsymbol\theta) = \begin{pmatrix} 1/\theta_2\\ -\theta_1/\theta_2^2 \end{pmatrix}.$$

共分散行列を、

$$\Sigma= \begin{pmatrix} \sigma_{11}&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_{22} \end{pmatrix}$$

とすると、$\sqrt n$ を付けた比の極限分散は、

$$\frac{\sigma_{11}}{\theta_2^2} +\frac{\theta_1^2\sigma_{22}}{\theta_2^4} -\frac{2\theta_1\sigma_{12}}{\theta_2^3}.$$

したがって、比の推定量そのものの近似分散は、この式を $n$ で割ったものです。同一被験者からAUCと $C_{\max}$ を計算する場合や、投与前後の比を扱う場合、$\sigma_{12}$ を0と決めつけてはいけません。

薬学例：pEC50の標準誤差

$\theta=\mathrm{EC}_{50}>0$ とし、

$$g(\theta)=-\log_{10}\theta$$

でpEC50へ変換します。底の変換公式 $\log_{10}\theta=\log\theta/\log 10$ より、

$$g'(\theta)=-\frac{1}{\theta\log 10}.$$

したがって、

$$\operatorname{SE}(\widehat{\mathrm{pEC}}_{50}) \approx \frac{\operatorname{SE}(\widehat{\mathrm{EC}}_{50})} {\widehat{\mathrm{EC}}_{50}\log 10}.$$

pEC50として解釈するときは、EC50を $\mathrm{mol/L}$ で表します。ただし、用量反応曲線の非線形回帰では、EC50を後から変換するより、対数EC50を直接パラメータ化して推定する方が数値的に安定する場合があります。また、曲線が十分に飽和していない場合、局所的なWald近似自体が不安定です。

10.6 信頼区間はどの尺度で作るか

変換尺度でWald型95%信頼区間を作るなら、

$$g(\hat\theta) \pm 1.96\, \widehat{\operatorname{SE}}\{g(\hat\theta)\}$$

です。$g$ が単調で逆関数 $g^{-1}$ をもつなら、両端を逆変換して元の尺度へ戻せます。

対数変換なら、

$$\left[ \exp\{g(\hat\theta)-1.96\,\widehat{\operatorname{SE}}\}, \exp\{g(\hat\theta)+1.96\,\widehat{\operatorname{SE}}\} \right]$$

となります。元の尺度では左右非対称になりますが、正の量に対して下限が負にならない利点があります。

「元の尺度で対称な区間を作ってから変換する方法」と「変換尺度で対称な区間を作って逆変換する方法」は一般に一致しません。どの尺度で正規近似が妥当か、どの尺度で解釈したいかを明示します。

10.7 デルタ法が危ない場面

状況	何が起こるか	対応
$g'(\theta)=0$	1次項が消え、通常のデルタ法では分散0になる	2次デルタ法
$g$ が $\theta$ で微分不能	接線が一意に定まらない	別の極限定理、直接導出
分母が0に近い比	導関数が非常に大きく、分布が強く歪む	Fieller法、プロファイル法、ブートストラップ
母数が境界に近い	正規近似区間が定義域をはみ出す	適切なリンク関数、尤度法
標準誤差が大きい	曲線と接線が広い範囲で離れる	標本数、シミュレーション、ブートストラップを確認
元の推定量が漸近正規でない	デルタ法の出発点が成立しない	元の極限分布から変換を導く

ブートストラップは非線形性を数値的に反映できますが、万能ではありません。境界、極端な比、クラスタ構造、希少事象では再標本化の単位と推定量の正則性を確認します。デルタ法は高速で解析的、ブートストラップは計算的という違いがあり、両者の結果を比較すると近似の弱さを発見できます。

発展：1次項が消える場合の2次デルタ法

$g'(\theta)=0$ なら、2次Taylor展開を使います。

$$g(\hat\theta_n)-g(\theta) = \frac12g''(\theta)(\hat\theta_n-\theta)^2 +o_p\{(\hat\theta_n-\theta)^2\}.$$

$\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)\xrightarrow{d}Z$ なら、両辺に $n$ を掛けて、

$$n\{g(\hat\theta_n)-g(\theta)\} \xrightarrow{d} \frac12g''(\theta)Z^2.$$

極限分布は一般に正規分布ではありません。

例えば、$\bar X\sim N(0,\sigma^2/n)$、$g(x)=x^2$ とします。$g'(0)=0$、$g''(0)=2$ なので、

$$n\bar X^2 \xrightarrow{d} \sigma^2\chi_1^2.$$

1次デルタ法で「分散0」と結論してはいけません。収束速度が $\sqrt n$ から $n$ に変わり、極限もカイ二乗型になります。

11. 分散安定化変換

11.1 考え方

推定量 $T$ の分散が母数 $\theta$ によって、

$$\operatorname{Var}(T)\approx\frac{v(\theta)}{n}$$

のように変わるとします。デルタ法から、

$$\operatorname{Var}\{g(T)\} \approx \{g'(\theta)\}^2\frac{v(\theta)}{n}$$

です。これを $\theta$ に依存しない定数 $C/n$ にしたければ、

$$\{g'(\theta)\}^2v(\theta)=C$$

となるように、

$$g'(\theta)=\frac{\sqrt C}{\sqrt{v(\theta)}}$$

を選びます。積分して、

$$g(\theta)=\sqrt C\int\frac{1}{\sqrt{v(\theta)}}\,d\theta$$

を求めるのが分散安定化変換の基本です。

11.2 二項比率の逆正弦平方根変換

$Y\sim\operatorname{Bin}(n,p)$、$\hat p=Y/n$ なら、

$$\operatorname{Var}(\hat p)=\frac{p(1-p)}{n}.$$

$v(p)=p(1-p)$ なので、

$$g'(p)=\frac{1}{\sqrt{p(1-p)}}$$

を積分します。$p=\sin^2u$ と置くと、

$$dp=2\sin u\cos u\,du$$

かつ、

$$\sqrt{p(1-p)}=\sin u\cos u$$

なので、

$$\int\frac{1}{\sqrt{p(1-p)}}\,dp =\int2\,du =2u+C =2\arcsin\sqrt p+C.$$

したがって、$g(p)=\arcsin\sqrt p$ と定数倍を省いて選べます。このとき、

$$g'(p)=\frac{1}{2\sqrt{p(1-p)}}$$

なので、

$$\operatorname{Var}\{\arcsin\sqrt{\hat p}\} \approx \frac{1}{4p(1-p)}\frac{p(1-p)}{n} =\frac{1}{4n}.$$

母比率 $p$ にほぼ依存しない分散が得られます。

ただし、現代の二項データ解析では、ロジスティック回帰や二項分布に基づく区間推定を直接使える場合が多く、逆正弦平方根変換を機械的に第一選択にする必要はありません。試験では導出を理解し、実務では目的とモデルを優先します。

11.3 Poisson分布の平方根変換

$Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$ なら、

$$E[Y]=\lambda,\qquad \operatorname{Var}(Y)=\lambda.$$

$v(\lambda)=\lambda$ なので、

$$g'(\lambda)=\frac{1}{\sqrt\lambda}$$

を積分すると、

$$g(\lambda)=2\sqrt\lambda+C.$$

デルタ法で、

$$\operatorname{Var}(2\sqrt Y) \approx \left(\frac{1}{\sqrt\lambda}\right)^2\lambda=1$$

です。同値に $\sqrt Y$ の近似分散は $1/4$ です。

発展：Anscombe変換

Poisson計数が小さいと、単純な平方根変換にはバイアスが残ります。よく知られた補正は、

$$2\sqrt{Y+\frac38}$$

です。ただし、低カウントや過分散、ゼロ過剰がある生命科学データでは、Poissonまたは負の二項分布に基づく一般化線形モデルを直接使う方が解釈しやすい場合があります。

11.4 変換の薬学的な使いどころ

• 発現陽性細胞率、奏効率：二項比率の分散が $p$ に依存する
• コロニー数、イベント数：Poisson計数の分散が平均とともに増える
• AUC、濃度、蛍光強度：変動係数がほぼ一定なら対数変換が候補

変換は分布を必ず正規化する魔法ではありません。変換後も外れ値、依存、平均分散関係、解釈可能性を確認します。

12. 順序統計量

12.1 定義

独立同一な連続分布から得た標本を、小さい順に並べます。

$$X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq\cdots\leq X_{(n)}$$

括弧付き添字 $(k)$ は、$k$ 回目に観測した値ではなく、小さい方から $k$ 番目の値を表します。

• $X_{(1)}$：最小値
• $X_{(n)}$：最大値
• $X_{(k)}$：$k$ 番目の順序統計量
• 奇数標本の中央の順序統計量：標本中央値

例えば観測値が、

$$4.2,\quad1.1,\quad3.0,\quad5.4,\quad2.3$$

なら、並べ替えた値は、

$$1.1,\quad2.3,\quad3.0,\quad4.2,\quad5.4$$

なので、

$$X_{(1)}=1.1,\qquad X_{(3)}=3.0,\qquad X_{(5)}=5.4$$

です。標本を取り直せばこれらの値も変わるため、各 $X_{(k)}$ は確率変数であり、それぞれ標本分布をもちます。

手元にある情報	選ぶ順序統計量	学べること
最も小さい観測値	$X_{(1)}$	最小反応、最短待ち時間、最小検出値
中央付近の観測値	$X_{((n+1)/2)}$	外れ値に比較的頑健な中心
上位 $5\%$ 付近の観測値	$X_{(\lceil0.95n\rceil)}$ 付近	高曝露、正常上限、リスク閾値
最も大きい観測値	$X_{(n)}$	最大毒性値、ピーク、最悪値

INTERACTIVE

標本を並べて、k番目を追いかける

元の観測順と小さい順を比較し、選んだ順位の標本分布までつなげます。

母分布一様分布 U(0,1)標準正規分布指数分布 Exp(1)標本数 n

7

順位 k

4

標本を引き直す

選択中

今回の値

母集団内の平均的位置

選んだ X_(k)

個が x より小さい確率因子 F(x)

1個が [x, x+dx]確率因子 f(x)dx

個が x より大きい確率因子 [1−F(x)]

U_(k) の密度平均 k/(n+1)

12.2 一般の分布関数：二項分布へ言い換える

$X_{(k)}\leq x$ という事象は、「$n$ 個のうち、少なくとも $k$ 個が $x$ 以下」と同じです。

そこで、

$$N_x=\sum_{i=1}^n I(X_i\leq x)$$

と置きます。各指示変数は確率 $F(x)$ のBernoulli変数なので、

$$N_x\sim\operatorname{Bin}\{n,F(x)\}.$$

したがって、

$$\begin{aligned} F_{X_{(k)}}(x) &=P(X_{(k)}\leq x)\\ &=P(N_x\geq k)\\ &=\sum_{j=k}^{n} \binom nj F(x)^j\{1-F(x)\}^{n-j}. \end{aligned}$$

これが一般の $k$ 番目の順序統計量の分布関数です。

12.3 最小値と最大値の分布

母分布関数を $F(x)$ とします。最大値 $X_{(n)}$ について、

$$\begin{aligned} P(X_{(n)}\leq x) &=P(X_1\leq x,\ldots,X_n\leq x)\\ &=\prod_{i=1}^nP(X_i\leq x)\\ &=F(x)^n. \end{aligned}$$

したがって、

$$F_{X_{(n)}}(x)=F(x)^n.$$

密度が存在するなら微分して、

$$f_{X_{(n)}}(x)=nF(x)^{n-1}f(x).$$

最小値では補集合を使います。

$$\begin{aligned} P(X_{(1)}>x) &=P(X_1>x,\ldots,X_n>x)\\ &=\{1-F(x)\}^n. \end{aligned}$$

よって、

$$F_{X_{(1)}}(x)=1-\{1-F(x)\}^n$$

および、

$$f_{X_{(1)}}(x)=n\{1-F(x)\}^{n-1}f(x)$$

です。

最大値では「全員が $x$ 以下」、最小値の生存関数では「全員が $x$ より大きい」と考えるのがポイントです。

数値例：5個中2番目が閾値以下

母集団で閾値 $c$ 以下となる確率が $F(c)=0.2$ とします。5個の測定値のうち2番目 $X_{(2)}$ が $c$ 以下である確率は、「少なくとも2個が $c$ 以下」なので、

$$\begin{aligned} P(X_{(2)}\leq c) &=1-P(N_c=0)-P(N_c=1)\\ &=1-0.8^5-\binom51(0.2)(0.8)^4\\ &=1-0.32768-0.40960\\ &=0.26272. \end{aligned}$$

「2番目の値の分布」を直接想像するより、閾値以下の個数を数える方が簡単です。

12.4 $k$ 番目の密度の導出

$X_{(k)}$ が $x$ の近くにあるためには、概略として、

1. $k-1$ 個が $x$ より小さい
2. 1個が幅 $dx$ の区間 $[x,x+dx]$ に入る
3. 残り $n-k$ 個が $x$ より大きい

必要があります。標本の割り当て方は、

$$\frac{n!}{(k-1)!1!(n-k)!}$$

通りです。中央の1個を選び、そのほかを左側と右側へ割り当てる多項係数です。

3領域へ入る確率は、それぞれ、

$$P(X<x)=F(x),\qquad P(x\leq X\leq x+dx)=f(x)dx+o(dx),$$ $$P(X>x+dx)=1-F(x)+o(1)$$

です。一次の $dx$ まで残すと、微小確率は、

$$\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} F(x)^{k-1}f(x)dx\{1-F(x)\}^{n-k}.$$

$dx$ で割ると、

$$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} F(x)^{k-1}\{1-F(x)\}^{n-k}f(x).$$

これが一般の順序統計量の密度です。

各因子には次の意味があります。

因子	図で表した領域
$F(x)^{k-1}$	左側へ入る $k-1$ 個
$f(x)dx$	中央の細い区間へ入る1個
$\{1-F(x)\}^{n-k}$	右側へ入る $n-k$ 個
$n!/\{(k-1)!(n-k)!\}$	観測値を3領域へ割り当てる方法の数

12.5 一様分布との関係

$U_1,\ldots,U_n\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\operatorname{Unif}(0,1)$ なら、$F(u)=u$、$f(u)=1$ なので、

$$f_{U_{(k)}}(u) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} u^{k-1}(1-u)^{n-k}, \qquad0<u<1.$$

これは、

$$U_{(k)}\sim\operatorname{Beta}(k,n-k+1)$$

を意味します。したがって、

$$E[U_{(k)}]=\frac{k}{n+1}$$ $$\operatorname{Var}(U_{(k)}) =\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}.$$

特に、

$$E[U_{(1)}]=\frac{1}{n+1}, \qquad E[U_{(n)}]=\frac{n}{n+1}.$$

標本数が増えるほど最小値は0へ、最大値は1へ近づきます。

12.6 確率積分変換：一般の分布を一様分布へ移す

連続な分布関数 $F$ に対して、

$$U_i=F(X_i)\sim\operatorname{Unif}(0,1)$$

です。単調性から、

$$F(X_{(k)})=U_{(k)}\sim\operatorname{Beta}(k,n-k+1).$$

この関係により、一般の母分布の順序統計量を一様分布とベータ分布へ移して考えられます。

期待値、

$$E[F(X_{(k)})]=\frac{k}{n+1}$$

は、$k$ 番目の値が平均的に母集団の $k/(n+1)$ 分位付近へ来ることを示します。$k/n$ ではなく $k/(n+1)$ である点は頻出です。

医薬・生命科学での読み方

• 基準範囲：健康集団の上位95%点を推定し、検査値の正常上限候補を考える
• 薬物曝露：AUCや $C_{\max}$ の上位順序統計量から高曝露個体を記述する
• 毒性スクリーニング：複数化合物・濃度条件の最大反応や上位反応を評価する
• 生存・待ち時間：最短イベント時間や長時間側の分位点を扱う
• 機械学習：検証損失の中央値、上位分位点、最悪群性能を要約する

ただし、同一個体由来の反復測定や同一患者由来の多数細胞は独立標本ではありません。また、離散データや測定丸めで同順位が生じる場合、ここで示した連続分布の密度導出をそのまま適用できないことがあります。

発展：標本分位点の漸近分布

母分布の $p$ 分位点を、

$$\xi_p=F^{-1}(p)$$

とします。$f(\xi_p)>0$ などの正則条件のもとで、標本 $p$ 分位点 $\hat\xi_p$ は、

$$\sqrt n(\hat\xi_p-\xi_p) \xrightarrow{d} N\left(0,\frac{p(1-p)}{f(\xi_p)^2}\right).$$

密度 $f(\xi_p)$ が小さい、すなわち分布が分位点の近くで平坦なら、分位点推定の分散は大きくなります。 中央値では $p=1/2$ なので、

$$\operatorname{Var}(\hat\xi_{0.5}) \approx\frac{1}{4n f(\xi_{0.5})^2}.$$

薬物濃度の95パーセンタイルや安全性指標の上位分位点は、中央値より裾の情報が少なく、通常は推定が不安定です。

13. 極値分布

13.1 なぜ最大値には別の理論が必要か

中心極限定理は和や平均の理論です。最大値、

$$M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$$

は、標本数が増えるほど分布の端へ移動するため、そのままでは非退化な極限分布をもちません。 そこで定数 $a_n>0,b_n$ を使って、

$$\frac{M_n-b_n}{a_n}$$

を標準化します。

13.2 Fisher–Tippett–Gnedenko定理

適切な $a_n,b_n$ に対して標準化最大値が非退化な分布へ収束するなら、その極限は本質的に次の3型のいずれかです。

型	裾の特徴	典型的な母分布
Gumbel型	指数的に減衰する裾	正規、指数、Gumbel
Fréchet型	べき乗で減衰する重い裾	Pareto
Weibull型	有限の上端点をもつ	一様、上端をもつBeta

3型は一般化極値分布、

$$G(z)= \exp\left[-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi}\right], \qquad1+\xi z>0$$

にまとめられます。

• $\xi=0$ の極限：Gumbel型
• $\xi>0$：Fréchet型
• $\xi<0$：Weibull型

ここでいうWeibull型は、寿命分布として使う通常のWeibull分布そのものと同一という意味ではありません。極値分布の分類名です。

13.3 指数分布の最大値

$X_i\sim\operatorname{Exp}(1)$ なら、$x\geq0$ で $F(x)=1-e^{-x}$ です。最大値の分布は、

$$P(M_n\leq x)=(1-e^{-x})^n.$$

$x=\log n+z$ と置くと、

$$\begin{aligned} P(M_n-\log n\leq z) &=\left(1-e^{-(\log n+z)}\right)^n\\ &=\left(1-\frac{e^{-z}}{n}\right)^n\\ &\to\exp(-e^{-z}). \end{aligned}$$

これは標準Gumbel分布です。

13.4 医薬生物分野での応用と注意

• 製造バッチ内の最大不純物濃度
• 多数の患者における最大QT延長
• 長時間観測した最大血中濃度や最大反応
• 高スループットスクリーニングの極端な活性値

最大値は観測回数に強く依存します。採血時点が多い群、追跡期間が長い群、測定項目が多い群ほど、偶然に大きな最大値が出やすくなります。

また、同一患者内の時系列は独立でないため、iidの極値理論をそのまま使えないことがあります。観測設計、依存、欠測、測定誤差、閾値選択を明示します。

14. 大数の強法則

独立同一分布の確率変数について、適切な条件のもとで、

$$\bar X_n\xrightarrow{a.s.}\mu$$

が成り立ちます。これが大数の強法則です。

弱法則は、固定した $n$ で大きく外れる確率が0へ近づくと述べます。強法則は、ほとんどすべての無限標本経路で、標本平均が最終的に母平均へ収束すると述べます。

法則	結論	見方
大数の弱法則	$\bar X_n\xrightarrow{p}\mu$	各 $n$ で外れる確率を見る
大数の強法則	$\bar X_n\xrightarrow{a.s.}\mu$	1本の無限標本経路を追う

発展：Borel–Cantelli補題との関係

事象 $A_n$ が無限回起こることを $A_n\ \mathrm{i.o.}$ と書きます。第1 Borel–Cantelli補題は、

$$\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)<\infty \quad\Longrightarrow\quad P(A_n\ \mathrm{i.o.})=0$$

と述べます。

$A_n=\{|\bar X_n-\mu|>\varepsilon\}$ とすれば、逸脱確率の総和が有限になるような上界を作ることで、「大きな逸脱は有限回しか起こらない」を示し、概収束へつなげられます。

単純にChebyshev上界を足すと $\sum 1/n$ が発散するため、それだけでは強法則の証明になりません。部分列や切断など、追加の工夫が必要です。

15. 独立だが同一分布でない場合の中心極限定理

臨床・薬学データでは、患者ごと、施設ごと、用量群ごとに分散が異なることがあります。独立でも同一分布とは限らないため、より一般的な中心極限定理が必要です。

15.1 三角配列

各 $n$ について、

$$X_{n1},X_{n2},\ldots,X_{nk_n}$$

という1行を考えます。行内では独立とし、

$$E[X_{nj}]=\mu_{nj}, \qquad \operatorname{Var}(X_{nj})=\sigma_{nj}^2$$

とします。行全体の分散を、

$$s_n^2=\sum_{j=1}^{k_n}\sigma_{nj}^2$$

と置きます。

15.2 Lindeberg–Fellerの中心極限定理

任意の $\varepsilon>0$ に対して、

$$\frac{1}{s_n^2} \sum_{j=1}^{k_n} E\left[ (X_{nj}-\mu_{nj})^2 I\{|X_{nj}-\mu_{nj}|>\varepsilon s_n\} \right] \to0$$

が成り立つことをLindeberg条件といいます。

この条件の意味は、全体の標準偏差 $s_n$ と比べて極端に大きい1観測が、総分散を支配しないことです。この条件のもとで、

$$\frac{ \sum_{j=1}^{k_n}(X_{nj}-\mu_{nj}) }{s_n} \xrightarrow{d}N(0,1).$$

15.3 Lyapunovの中心極限定理

ある $\delta>0$ に対して、

$$\frac{1}{s_n^{2+\delta}} \sum_{j=1}^{k_n} E\left[|X_{nj}-\mu_{nj}|^{2+\delta}\right] \to0$$

なら、標準化和は標準正規分布へ収束します。これがLyapunov条件です。

Lyapunov条件はLindeberg条件より強いですが、絶対積率を計算して確認しやすいことがあります。

15.4 Lyapunov条件がLindeberg条件を導く理由

$|X_{nj}-\mu_{nj}|>\varepsilon s_n$ の領域では、

$$|X_{nj}-\mu_{nj}|^\delta>(\varepsilon s_n)^\delta$$

です。したがって、

$$\begin{aligned} &(X_{nj}-\mu_{nj})^2 I\{|X_{nj}-\mu_{nj}|>\varepsilon s_n\}\\ &\qquad\leq \frac{|X_{nj}-\mu_{nj}|^{2+\delta}} {(\varepsilon s_n)^\delta}. \end{aligned}$$

両辺の期待値を取り、$s_n^2$ で割って和を取ると、

$$\begin{aligned} &\frac{1}{s_n^2}\sum_j E\left[(X_{nj}-\mu_{nj})^2 I\{|X_{nj}-\mu_{nj}|>\varepsilon s_n\}\right]\\ &\qquad\leq \frac{1}{\varepsilon^\delta} \frac{1}{s_n^{2+\delta}} \sum_jE[|X_{nj}-\mu_{nj}|^{2+\delta}] \to0. \end{aligned}$$

よってLyapunov条件はLindeberg条件を導きます。

15.5 医薬生物データでの読み方

多施設研究で各患者のアウトカムが独立でも、施設、背景、用量によって分散が異なることがあります。Lindeberg条件は、特定の患者や施設が総分散をほぼ単独で支配しないことを要求します。

ただし、同一施設内の患者が相関するなら、独立性そのものが崩れます。その場合はクラスター単位の中心極限定理、混合モデル、GEE、クラスター頑健標準誤差などが必要です。

情報科学・機械学習との接続

機械学習では、訓練データで得た性能が、まだ見ていないデータでも再現するかを知りたいと考えます。 精度、感度、AUC、平均損失などは、有限個のテスト標本から計算した統計量です。 したがって、モデル評価にも標本分布と独立単位の考え方が必要です。

テスト精度にも標本分布がある

独立なテスト標本で、各予測が正しければ $I_i=1$、誤れば $I_i=0$ とします。 正解確率を $p$ とすれば、

$$I_i\sim\operatorname{Bernoulli}(p)$$

であり、accuracyは、

$$\widehat p=\frac1n\sum_{i=1}^nI_i$$

です。独立同一分布なら、

$$E[\widehat p]=p, \qquad \operatorname{Var}(\widehat p)=\frac{p(1-p)}{n}$$

となります。 テスト標本が少ないと、accuracyが高く見えても不確実性は大きくなります。

患者内に複数画像、マウス内に複数切片、ドナー内に多数細胞がある場合、画像・切片・細胞を独立な $I_i$ として扱うことはできません。独立単位を数え直す必要があります。

経験リスクの収束と汎化は同じではない

固定した予測器 $f$ に対して、独立同一分布の損失、

$$L_i=L\{Y_i,f(X_i)\}$$

の平均は、大数の法則により、

$$\frac1n\sum_{i=1}^nL_i \xrightarrow{p} E[L_i]$$

と収束します。

ただし、同じデータを使って多数のモデルから最も成績の良いものを選ぶと、選択による楽観バイアスが入ります。 大数の法則だけでは、複雑なモデルをデータに合わせて選んだ後の汎化を自動的に保証しません。

そのため、訓練、検証、最終テストを分けます。

• 訓練データ：母数・重みを学習する
• 検証データ：ハイパーパラメータやモデルを選ぶ
• テストデータ：選択後の性能を最後に評価する

データ漏洩は独立性の破れとして考える

同一患者の別時点が訓練とテストへ分かれると、モデルは患者固有の情報を利用できます。 このときテスト誤差は、未知患者への誤差を表しません。

予測したい対象	分割すべき単位
新しい画像	画像。ただし同一患者依存に注意
新しい患者	患者単位
新しい施設	施設を丸ごと外部検証
新しいドナー	ドナー単位
新しい実験日・プレート	日・プレート単位の検証も行う

ランダム分割の前に、「将来どの単位へ汎化したいか」を決めます。

ミニバッチ勾配は標本平均である

1標本の勾配を $\boldsymbol g_i(\boldsymbol\theta)$ とし、バッチサイズを $B$ とすると、ミニバッチ勾配は、

$$\widehat{\boldsymbol g}_B =\frac1B\sum_{i=1}^B\boldsymbol g_i$$

です。独立で分散が有限なら、バッチサイズが増えるほど分散はおおむね $1/B$ に減ります。

ベクトルのミニバッチ平均を単変量へ戻す

パラメータが1個なら、各標本の微分 $g_i$ を足して $B$ で割る普通の標本平均です。ベクトルでは、1番目のパラメータの勾配どうし、2番目のパラメータの勾配どうし、というように成分ごとに同じ平均を計算します。

中心極限定理は、ミニバッチ勾配の揺らぎを近似的に正規分布として理解する入口になります。

ただし、クラス不均衡、患者ごとのクラスタ、時系列依存があると単純な独立同一分布の近似は崩れます。

デルタ法は評価指標の標準誤差に使える

感度と特異度の差、リスク比、オッズ比、対数変換した誤差などは、基本統計量の非線形関数です。 推定量 $\widehat{\boldsymbol\theta}$ が漸近正規なら、関数 $g$ に対して、

$$\operatorname{Var}\{g(\widehat{\boldsymbol\theta})\} \approx \nabla g(\boldsymbol\theta)^T \operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta}) \nabla g(\boldsymbol\theta)$$

と近似できます。 複数指標が同じ症例から計算される場合、共分散を0と置かないことが重要です。

評価指標の分散公式を成分ごとに読む

指標の元になる推定量が1個なら、$\operatorname{Var}\{g(\hat\theta)\}\approx\{g'(\theta)\}^2\operatorname{Var}(\hat\theta)$ です。複数なら、各推定量の不確実性だけでなく、同じ症例から計算された推定量どうしの共分散も足します。

分布シフトでは標本数を増やしても直らない

訓練分布 $P_{\mathrm{train}}(X,Y)$ と運用分布 $P_{\mathrm{target}}(X,Y)$ が異なると、訓練標本を増やしても、対象集団の期待損失へ収束するとは限りません。

薬学・医療AIでは、施設、測定機器、患者背景、前処理、時期による変化を確認します。 内部交差検証の標準誤差が小さくても、外部集団へのバイアスは別問題です。

16. 何を見て、何を判断するか

目的	観測・確認する情報	主な理論	判断できること
母平均の精度	$n,\bar x,s$、分布形	$t$ 分布、CLT	標準誤差、信頼区間
測定精度の比較	各群の標本分散、正規性	$\chi^2,F$ 分布	母分散、分散比
大標本推定量の妥当性	一致性、漸近分散	WLLN、Slutsky	未知量のプラグインが可能か
比、対数、比率の精度	元の推定量の共分散	デルタ法	変換後の近似標準誤差
ばらつきの均一化	平均と分散の関係	分散安定化変換	変換候補、モデル選択
上位分位点・最大値	標本数、裾、依存	順序統計量、極値理論	閾値超過、最悪値の確率
異質な観測の和	各項の分散と高次積率	Lindeberg–Feller、Lyapunov	正規近似が成立する条件

17. 統計検定1級でよく問われる接続

1. $E[\bar X]=\mu$ と $\operatorname{Var}(\bar X)=\sigma^2/n$ を導く
2. $E[S^2]=\sigma^2$ を偏差平方和の恒等式から示す
3. 正規標本で $\bar X$ と $S^2$ が独立であることを使う
4. カイ二乗変数の和、$t$ の定義、$T^2\sim F$ を結ぶ
5. Chebyshevの不等式から大数の弱法則を示す
6. CLTで和や二項確率を正規近似し、連続補正を行う
7. 一致推定量と漸近正規性をSlutskyの定理で組み合わせる
8. Taylor展開からデルタ法の近似分散を求める
9. $F_{X_{(n)}}(x)=F(x)^n$ から極値の分布を求める
10. Lindeberg条件とLyapunov条件の違いを説明する

18. 数理統計の問題

問題1：標本平均の標本分布

$X_1,\ldots,X_{25}$ は平均12、分散9の母集団からの独立同一分布標本とします。

1. $E[\bar X]$ と $\operatorname{Var}(\bar X)$ を求めてください。
2. 母集団が正規分布なら、$P(11.4\leq\bar X\leq12.6)$ を求めてください。

解答1

期待値と分散は、

$$E[\bar X]=12$$ $$\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{9}{25}=0.36$$

です。したがって標準誤差は、

$$\operatorname{SE}(\bar X)=\sqrt{0.36}=0.6$$

です。正規母集団なら、

$$\bar X\sim N(12,0.36).$$

よって、

$$\begin{aligned} P(11.4\leq\bar X\leq12.6) &=P\left( \frac{11.4-12}{0.6}\leq Z\leq \frac{12.6-12}{0.6} \right)\\ &=P(-1\leq Z\leq1)\\ &\approx0.6827. \end{aligned}$$

問題2：不偏標本分散

$X_1,\ldots,X_n$ は平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の独立同一分布標本です。

$$S_n^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$$

と置くとき、$E[S_n^2]$ を求めてください。

解答2

偏差平方和の期待値は、

$$E\left[\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\right]=(n-1)\sigma^2$$

でした。したがって、

$$\begin{aligned} E[S_n^2] &=\frac1n(n-1)\sigma^2\\ &=\frac{n-1}{n}\sigma^2. \end{aligned}$$

$n$ で割る標本分散は母分散を過小評価します。$n-1$ で割ることで不偏になります。

問題3：母分散の信頼区間

正規母集団からの大きさ10の標本で $s^2=4.0$ を得ました。自由度9のカイ二乗分布について、

$$\chi^2_{9,0.025}=2.700,\qquad \chi^2_{9,0.975}=19.023$$

とします。母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を求めてください。

解答3

$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$$

なので、

$$P\left( 2.700\leq\frac{9S^2}{\sigma^2}\leq19.023 \right)=0.95.$$

正の量について不等号を解くと、

$$P\left( \frac{9S^2}{19.023}\leq\sigma^2\leq \frac{9S^2}{2.700} \right)=0.95.$$

$s^2=4.0$ を代入して、

$$\left( \frac{36}{19.023}, \frac{36}{2.700} \right) \approx(1.89,13.33).$$

分散の区間は非対称になります。

問題4：$t$ 統計量

正規母集団から大きさ16の標本を取り、$\bar x=52$、$s=8$ を得ました。$H_0:\mu=48$ を検定する1標本 $t$ 統計量を求めてください。

解答4

$$\begin{aligned} t &=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}\\ &=\frac{52-48}{8/\sqrt{16}}\\ &=\frac4{2}\\ &=2. \end{aligned}$$

自由度は $n-1=15$ です。両側検定なら $|t|$ を $t_{15}$ の両側臨界値と比較します。

問題5：$t$ と $F$ の関係

$T\sim t_{12}$ とします。$T^2$ の分布を導いてください。

解答5

定義から、独立な $Z\sim N(0,1)$ と $V\sim\chi^2_{12}$ を使って、

$$T=\frac{Z}{\sqrt{V/12}}$$

と書けます。両辺を2乗すると、

$$T^2=\frac{Z^2/1}{V/12}.$$

$Z^2\sim\chi^2_1$ なので、$F$ 分布の定義から、

$$T^2\sim F_{1,12}.$$

問題6：Chebyshev上界

平均100、分散64の母集団から独立に64個を抽出します。$P(|\bar X-100|\geq2)$ のChebyshev上界を求めてください。

解答6

標本平均の分散は、

$$\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{64}{64}=1.$$

したがって、

$$P(|\bar X-100|\geq2) \leq\frac{1}{2^2}=0.25.$$

これは分布形を使わない保証であり、実際の確率と一致するとは限りません。

問題7：大数の弱法則

$X_i\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\operatorname{Bernoulli}(p)$ とします。標本比率 $\hat p_n$ が $p$ に確率収束することを示してください。

解答7

Bernoulli分布の平均と分散は、

$$E[X_i]=p,\qquad\operatorname{Var}(X_i)=p(1-p).$$

$\hat p_n=\bar X_n$ なので、Chebyshevの不等式から、

$$P(|\hat p_n-p|\geq\varepsilon) \leq\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \to0.$$

よって、

$$\hat p_n\xrightarrow{p}p.$$

問題8：二項分布の正規近似

$Y\sim\operatorname{Bin}(200,0.4)$ とします。$P(Y\geq90)$ を連続補正付き正規近似で表してください。

解答8

平均と分散は、

$$E[Y]=200(0.4)=80$$ $$\operatorname{Var}(Y)=200(0.4)(0.6)=48.$$

$Y\geq90$ には下側境界89.5を使うので、

$$\begin{aligned} P(Y\geq90) &\approx P\left(Z\geq\frac{89.5-80}{\sqrt{48}}\right)\\ &=P(Z\geq1.371). \end{aligned}$$

標準正規分布表から約0.085です。

問題9：Slutskyの定理

$$\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)\xrightarrow{d}N(0,\tau^2), \qquad \hat\tau_n\xrightarrow{p}\tau>0$$

とします。$\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)/\hat\tau_n$ の極限分布を求めてください。

解答9

まず、

$$\frac{\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)}{\tau} \xrightarrow{d}N(0,1).$$

また、連続写像定理から、

$$\frac{\tau}{\hat\tau_n}\xrightarrow{p}1.$$

積に分けると、

$$\frac{\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)}{\hat\tau_n} = \frac{\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)}{\tau} \frac{\tau}{\hat\tau_n}.$$

Slutskyの定理より、

$$\frac{\sqrt n(\hat\theta_n-\theta)}{\hat\tau_n} \xrightarrow{d}N(0,1).$$

問題10：デルタ法によるオッズの分散

$\hat p$ が、

$$\sqrt n(\hat p-p)\xrightarrow{d}N(0,p(1-p))$$

を満たすとします。推定オッズ $\hat p/(1-\hat p)$ の漸近分散を求めてください。

解答10

$$g(p)=\frac{p}{1-p}$$

と置くと、

$$g'(p)=\frac{(1-p)+p}{(1-p)^2} =\frac{1}{(1-p)^2}.$$

デルタ法から、

$$\sqrt n\left\{ \frac{\hat p}{1-\hat p}-\frac{p}{1-p} \right\} \xrightarrow{d} N\left(0, \frac{p}{(1-p)^3} \right).$$

したがって推定オッズ自体の近似分散は、

$$\operatorname{Var}\left(\frac{\hat p}{1-\hat p}\right) \approx\frac{p}{n(1-p)^3}.$$

問題11：分散安定化変換

$Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$ とします。$g(Y)=\sqrt Y$ の近似分散をデルタ法で求めてください。

解答11

$g'(\lambda)=1/(2\sqrt\lambda)$ なので、

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(\sqrt Y) &\approx\{g'(\lambda)\}^2\operatorname{Var}(Y)\\ &=\frac{1}{4\lambda}\lambda\\ &=\frac14. \end{aligned}$$

近似分散は $\lambda$ に依存しません。

問題12：最大値の分布

$X_1,\ldots,X_n\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\operatorname{Exp}(\lambda)$ とし、$M_n=X_{(n)}$ とします。

1. $M_n$ の分布関数を求めてください。
2. $P(M_n\leq m)=0.95$ となる $m$ を求めてください。

解答12

指数分布の分布関数は、$x\geq0$ で、

$$F(x)=1-e^{-\lambda x}$$

です。したがって、

$$F_{M_n}(m)=\{1-e^{-\lambda m}\}^n.$$

95%点は、

$$\{1-e^{-\lambda m}\}^n=0.95$$

を解きます。

$$1-e^{-\lambda m}=0.95^{1/n}$$ $$e^{-\lambda m}=1-0.95^{1/n}$$

より、

$$m=-\frac1\lambda\log\{1-0.95^{1/n}\}.$$

問題13：一様分布の順序統計量

$U_1,\ldots,U_9\overset{\mathrm{iid}}{\sim}\operatorname{Unif}(0,1)$ とします。標本中央値 $U_{(5)}$ の分布、平均、分散を求めてください。

解答13

一様分布の順序統計量より、

$$U_{(5)}\sim\operatorname{Beta}(5,5).$$

平均は、

$$E[U_{(5)}]=\frac{5}{5+5}=\frac12.$$

分散は、

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(U_{(5)}) &=\frac{5\cdot5}{(5+5)^2(5+5+1)}\\ &=\frac{25}{1100}\\ &=\frac1{44}. \end{aligned}$$

問題14：収束様式

$U\sim\operatorname{Unif}(0,1)$ とし、$X_n=U/n$ とします。$X_n$ の概収束、確率収束、平均二乗収束を調べてください。

解答14

任意の標本点で $0\leq U\leq1$ なので、

$$0\leq X_n=\frac Un\leq\frac1n\to0.$$

したがって、すべての標本点で $X_n\to0$ であり、

$$X_n\xrightarrow{a.s.}0.$$

また、

$$E[(X_n-0)^2] =\frac{E[U^2]}{n^2} =\frac{1}{3n^2} \to0$$

なので、

$$X_n\xrightarrow{L^2}0.$$

どちらからも確率収束が従い、

$$X_n\xrightarrow{p}0.$$

問題15：Lyapunov条件

各 $n$ で独立な確率変数 $X_{n1},\ldots,X_{nn}$ が、$E[X_{nj}]=0$、$\operatorname{Var}(X_{nj})=1$、さらに一様に、

$$E[|X_{nj}|^3]\leq C$$

を満たすとします。$\delta=1$ のLyapunov条件を確認してください。

解答15

総分散は、

$$s_n^2=\sum_{j=1}^n1=n$$

なので、$s_n^3=n^{3/2}$ です。したがって、

$$\begin{aligned} \frac{1}{s_n^3}\sum_{j=1}^nE[|X_{nj}|^3] &\leq\frac{nC}{n^{3/2}}\\ &=\frac{C}{\sqrt n}\\ &\to0. \end{aligned}$$

よってLyapunov条件が成り立ち、

$$\frac{1}{\sqrt n}\sum_{j=1}^nX_{nj} \xrightarrow{d}N(0,1).$$

問題16：$t$ 分布と $F$ 分布の積率・存在条件

独立な確率変数

$$Z\sim N(0,1), \qquad V\sim\chi_\nu^2$$

から、

$$T=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}$$

を定義します。

1. $T$ の平均と分散、およびそれらが存在する自由度の条件を求めてください。
2. 独立な $U\sim\chi_m^2$、$V\sim\chi_n^2$ に対し、$F=(U/m)/(V/n)$ とします。$E[F^r]$ と、その存在条件を求めてください。

解答16

$T$ は自由度 $\nu$ の $t$ 分布に従います。分布は0について対称なので、絶対可積分である $\nu>1$ のとき、

$$E[T]=0$$

です。$\nu\leq1$ では平均は存在しません。

$\nu>2$ のとき、独立性より、

$$\begin{aligned} E[T^2] &=E[Z^2]\,\nu E[V^{-1}]\\ &=1\times\nu\times\frac{1}{\nu-2}\\ &=\frac{\nu}{\nu-2}. \end{aligned}$$

平均が0なので、

$$\operatorname{Var}(T)=\frac{\nu}{\nu-2}\quad(\nu>2)$$

です。$1<\nu\leq2$ では平均は存在しますが、分散は存在しません。

次に、

$$F^r=\left(\frac{n}{m}\right)^rU^rV^{-r}$$

です。独立性とカイ二乗分布の積率公式から、

$$E[U^r] =2^r\frac{\Gamma(m/2+r)}{\Gamma(m/2)},$$ $$E[V^{-r}] =2^{-r}\frac{\Gamma(n/2-r)}{\Gamma(n/2)}.$$

よって、

$$E[F^r] =\left(\frac{n}{m}\right)^r \frac{\Gamma(m/2+r)\Gamma(n/2-r)} {\Gamma(m/2)\Gamma(n/2)}$$

です。存在条件は、

$$-\frac m2<r<\frac n2$$

です。特に $r=1$ とすれば、$n>2$ のとき、

$$E[F]=\frac{n}{n-2}$$

を得ます。

問題17：標本分散の漸近正規性

$X_1,\ldots,X_n$ は平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の母集団からのi.i.d.標本で、

$$\mu_4=E[(X_1-\mu)^4]<\infty$$

とします。不偏標本分散

$$S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)^2$$

に対して、

$$\sqrt n(S_n^2-\sigma^2) \xrightarrow{d}N(0,\mu_4-\sigma^4)$$

を示してください。

解答17

恒等式

$$\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)^2 =\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-n(\bar X_n-\mu)^2$$

より、

$$S_n^2 =\frac{n}{n-1} \left\{ \frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-(\bar X_n-\mu)^2 \right\}.$$

$Y_i=(X_i-\mu)^2$ とおくと、

$$E[Y_i]=\sigma^2, \qquad \operatorname{Var}(Y_i)=\mu_4-\sigma^4.$$

中心極限定理より、

$$\sqrt n\left(\frac1n\sum_{i=1}^nY_i-\sigma^2\right) \xrightarrow{d}N(0,\mu_4-\sigma^4).$$

一方、$\bar X_n-\mu=O_p(n^{-1/2})$ なので、

$$\sqrt n(\bar X_n-\mu)^2=O_p(n^{-1/2})\xrightarrow{p}0.$$

また、$n/(n-1)\to1$ であり、不偏化による差 $\sqrt n\,\sigma^2/(n-1)$ も0へ収束します。したがってSlutskyの定理より、

$$\sqrt n(S_n^2-\sigma^2) \xrightarrow{d}N(0,\mu_4-\sigma^4).$$

正規母集団では $\mu_4=3\sigma^4$ なので、極限分散は $2\sigma^4$ です。

問題18：デルタ法と境界事象の処理

$K_n\sim\operatorname{Bin}(n,p)$、$0<p<1$ とし、$\hat p_n=K_n/n$ とします。$K_n\geq1$ のとき $Y_n=\log\hat p_n$、$K_n=0$ のとき $Y_n=0$ と定義します。次を示してください。

$$Y_n\xrightarrow{p}\log p$$ $$\sqrt n(Y_n-\log p) \xrightarrow{d}N\left(0,\frac{1-p}{p}\right)$$

解答18

大数の法則より、

$$\hat p_n\xrightarrow{p}p.$$

$p>0$ で $g(x)=\log x$ は連続なので、連続写像定理から、通常は $\log\hat p_n\xrightarrow{p}\log p$ といえます。ここでは $\hat p_n=0$ で対数が定義できませんが、

$$P(K_n=0)=(1-p)^n\to0$$

です。したがって、0回成功のときだけ別の値を割り当てても確率極限は変わりません。

二項分布の中心極限定理より、

$$\sqrt n(\hat p_n-p) \xrightarrow{d}N(0,p(1-p)).$$

$g'(p)=1/p$ なので、デルタ法により、

$$\begin{aligned} \sqrt n\{g(\hat p_n)-g(p)\} &\xrightarrow{d} N\left(0,\{g'(p)\}^2p(1-p)\right)\\ &=N\left(0,\frac{1-p}{p}\right). \end{aligned}$$

$K_n=0$ の事象の確率は0へ収束するため、同じ極限が $Y_n$ にも成り立ちます。

問題19：指数分布の最大値とGumbel分布

$X_1,\ldots,X_n$ は率 $\lambda$ の指数分布に従うi.i.d.確率変数とし、

$$M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$$

とします。次を示してください。

$$\lambda M_n-\log n \xrightarrow{d}G,$$

ただし $G$ の分布関数は、

$$P(G\leq x)=\exp(-e^{-x})$$

です。

解答19

固定した実数 $x$ に対し、十分大きな $n$ では $(\log n+x)/\lambda>0$ です。独立性より、

$$\begin{aligned} P(\lambda M_n-\log n\leq x) &=P\left(M_n\leq\frac{\log n+x}{\lambda}\right)\\ &=\prod_{i=1}^n P\left(X_i\leq\frac{\log n+x}{\lambda}\right)\\ &=\left\{1-\exp[-(\log n+x)]\right\}^n\\ &=\left(1-\frac{e^{-x}}{n}\right)^n. \end{aligned}$$

$n\to\infty$ とすると、$(1-a/n)^n\to e^{-a}$ より、

$$P(\lambda M_n-\log n\leq x) \to\exp(-e^{-x}).$$

よってGumbel分布への分布収束が示されました。

問題20：重み付き平均の大数の法則

$X_1,X_2,\ldots$ は平均 $\mu$、分散 $\sigma^2<\infty$ のi.i.d.確率変数とします。

$$T_n=\frac{2}{n(n+1)}\sum_{j=1}^n jX_j$$

に対して、$T_n\xrightarrow{p}\mu$ を示してください。

解答20

重みの総和は、

$$\frac{2}{n(n+1)}\sum_{j=1}^n j=1$$

なので、

$$E[T_n]=\mu$$

です。独立性より、

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(T_n) &=\frac{4\sigma^2}{n^2(n+1)^2}\sum_{j=1}^n j^2\\ &=\frac{4\sigma^2}{n^2(n+1)^2} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &=\frac{2\sigma^2(2n+1)}{3n(n+1)}\\ &\to0. \end{aligned}$$

したがって、任意の $\varepsilon>0$ に対してChebyshevの不等式から、

$$P(|T_n-\mu|\geq\varepsilon) \leq\frac{\operatorname{Var}(T_n)}{\varepsilon^2} \to0.$$

よって $T_n\xrightarrow{p}\mu$ です。

発展問題21：Chernoff境界をポアソン分布で最適化する

積率母関数 $M_X(t)=E[e^{tX}]$ が存在するとき、$t>0$ に対して、

$$P(X\geq a)\leq e^{-ta}M_X(t)$$

を示してください。さらに、$X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$、$a>\lambda$ のとき、右辺を $t$ について最小化してください。

解答21

$t>0$ なら $x\mapsto e^{tx}$ は単調増加なので、

$$\{X\geq a\}=\{e^{tX}\geq e^{ta}\}.$$

非負確率変数 $e^{tX}$ にMarkovの不等式を適用すると、

$$P(X\geq a) \leq\frac{E[e^{tX}]}{e^{ta}} =e^{-ta}M_X(t).$$

ポアソン分布の積率母関数は、

$$M_X(t)=\exp\{\lambda(e^t-1)\}$$

なので、上界の対数は、

$$q(t)=-ta+\lambda(e^t-1)$$

です。微分すると、

$$q'(t)=-a+\lambda e^t, \qquad q''(t)=\lambda e^t>0.$$

$a>\lambda$ より、最小点は正の値

$$t^*=\log\frac{a}{\lambda}$$

です。これを代入して、

$$P(X\geq a) \leq \exp\left\{-a\log\frac{a}{\lambda}+a-\lambda\right\}$$

を得ます。

問題22：Lévyの連続性定理によるPoisson極限

$\lambda>0$ を固定し、

$$X_n\sim\operatorname{Bin}\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)$$

とします。特性関数とLévyの連続性定理を用いて、

$$X_n\xrightarrow{d}\operatorname{Poisson}(\lambda)$$

を示してください。

解答22

二項分布の特性関数は、Bernoulli変数の特性関数を $n$ 乗して、

$$\begin{aligned} \varphi_{X_n}(t) &=\left\{1-\frac{\lambda}{n} +\frac{\lambda}{n}e^{it}\right\}^n\\ &=\left\{1+\frac{\lambda(e^{it}-1)}{n}\right\}^n \end{aligned}$$

です。固定した $t$ に対して $(1+z/n)^n\to e^z$ を使うと、

$$\varphi_{X_n}(t) \longrightarrow \exp\{\lambda(e^{it}-1)\}.$$

右辺は $\operatorname{Poisson}(\lambda)$ の特性関数で、$t=0$ で連続です。したがってLévyの連続性定理より、

$$X_n\xrightarrow{d}\operatorname{Poisson}(\lambda)$$

です。

問題23：順序統計量とBeta分布

$X_1,\ldots,X_n$ は連続分布関数 $F$ をもつi.i.d.標本で、$X_{(k)}$ を小さい方から $k$ 番目の順序統計量とします。

1. $X_{(k)}$ の密度を求めてください。
2. $U_{(k)}=F(X_{(k)})$ の分布と平均を求めてください。

解答23

$X_{(k)}$ が $x$ の近くに入るには、$k-1$ 個が $x$ より小さく、1個が幅 $dx$ に入り、残り $n-k$ 個が $x$ より大きい必要があります。どの標本が各役割を持つかを数えると、

$$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} F(x)^{k-1}\{1-F(x)\}^{n-k}f(x)$$

です。

$u=F(x)$ と変換すると $du=f(x)dx$ なので、

$$f_{U_{(k)}}(u) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} u^{k-1}(1-u)^{n-k}, \qquad 0<u<1.$$

これは、

$$U_{(k)}\sim\operatorname{Beta}(k,n-k+1)$$

を表します。したがって、

$$E[U_{(k)}] =\frac{k}{n+1}$$

です。元の分布が何であっても、分布関数で確率尺度へ移すと同じBeta分布になる点が重要です。

問題24：多変量デルタ法と対数比

正のパラメータ $\theta_1,\theta_2$ の推定量が、

$$\sqrt n \left\{ \begin{pmatrix}\hat\theta_1\\\hat\theta_2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\theta_1\\\theta_2\end{pmatrix} \right\} \xrightarrow{d} N_2\left( \mathbf0, \begin{pmatrix} \sigma_{11}&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_{22} \end{pmatrix} \right)$$

を満たすとします。$g(\theta_1,\theta_2)=\log(\theta_1/\theta_2)$ の漸近分散を求めてください。

解答24

対数比は、

$$g(\theta_1,\theta_2)=\log\theta_1-\log\theta_2$$

なので、勾配は、

$$\nabla g = \begin{pmatrix} 1/\theta_1\\ -1/\theta_2 \end{pmatrix}$$

です。多変量デルタ法より、$\sqrt n\{g(\hat{\boldsymbol\theta})-g(\boldsymbol\theta)\}$ の極限分散は、

$$\begin{aligned} (\nabla g)^T\Sigma\nabla g &= \frac{\sigma_{11}}{\theta_1^2} +\frac{\sigma_{22}}{\theta_2^2} -\frac{2\sigma_{12}}{\theta_1\theta_2}. \end{aligned}$$

したがって、対数比の推定量自体の近似分散は、

$$\operatorname{Var}\left\{\log\frac{\hat\theta_1}{\hat\theta_2}\right\} \approx \frac1n \left( \frac{\sigma_{11}}{\theta_1^2} +\frac{\sigma_{22}}{\theta_2^2} -\frac{2\sigma_{12}}{\theta_1\theta_2} \right)$$

です。

この行列計算を掛け算3個へほどく

単変量なら、$\{g'(\theta)\}^2\sigma^2$ です。2変量では、1番目の分散の寄与、2番目の分散の寄与、2つが一緒に動く共分散の寄与、の3個を足します。勾配の2成分の符号が逆なので、正の共分散は対数比の分散を小さくします。

発展問題25：1階微分が0になる2次デルタ法

$$\sqrt n(T_n-\theta)\xrightarrow{d}N(0,\tau^2)$$

とし、$g$ は2回微分可能で $g'(\theta)=0$、$g''(\theta)\neq0$ とします。$n\{g(T_n)-g(\theta)\}$ の極限分布を求めてください。

解答25

$\theta$ のまわりで2次までTaylor展開すると、ある $\tilde\theta_n$ に対して、

$$g(T_n)-g(\theta) =g'(\theta)(T_n-\theta) +\frac12g''(\tilde\theta_n)(T_n-\theta)^2.$$

$g'(\theta)=0$ なので1次項は消えます。一致性から $\tilde\theta_n\xrightarrow{p}\theta$ であり、

$$n\{g(T_n)-g(\theta)\} =\frac12g''(\tilde\theta_n) \{\sqrt n(T_n-\theta)\}^2.$$

標準正規変数を $Z$ とすると、連続写像定理とSlutskyの定理より、

$$\boxed{ n\{g(T_n)-g(\theta)\} \xrightarrow{d} \frac12g''(\theta)\tau^2 Z^2 =\frac12g''(\theta)\tau^2\chi_1^2 }$$

です。通常の $\sqrt n$ 尺度ではなく $n$ 尺度になり、極限分布も一般には正規分布ではありません。

19. 医薬・生物統計の問題

問題1：独立単位と標準誤差

対照群6匹、処置群6匹のマウスから、それぞれ1匹当たり200細胞を測定しました。細胞レベルの測定値を使って処置効果を比較したいとします。

1. 処置効果の独立な標本数を各群1200と考えてよいですか。
2. どのような解析単位またはモデルが候補ですか。

解答1

各群1200とは考えられません。処置はマウスに割り付けられ、同じマウス内の細胞は共通の生物学的背景、処置、調製、測定バッチを共有するため依存します。

目的に応じて、次が候補です。

• マウスごとに細胞測定を要約し、各群 $n=6$ として比較する
• 細胞をレベル1、マウスをレベル2とする階層モデルを使う
• 遺伝子発現なら、個体単位のpseudobulkを作る

細胞数を増やすと各マウス内の要約精度は上がりますが、個体間変動を推定する独立単位は増えません。

問題2：小標本の薬効指標

独立な10例で、投与前後差の平均が $-4.0$、標本標準偏差が5.0でした。差が正規分布に従うと仮定し、母平均差の95%信頼区間を求めてください。$t_{9,0.975}=2.262$ とします。

解答2

対応差を1標本として扱います。標準誤差は、

$$\frac{s}{\sqrt n}=\frac5{\sqrt{10}}\approx1.581.$$

したがって、

$$\begin{aligned} \bar d\pm t_{9,0.975}\frac{s}{\sqrt n} &=-4.0\pm2.262(1.581)\\ &=-4.0\pm3.576. \end{aligned}$$

95%信頼区間は、

$$(-7.58,-0.42)$$

です。0を含まないことは統計的な差を示しますが、臨床的意義は効果量、評価尺度、事前に定めた重要差と合わせて判断します。

問題3：2つの測定法の精度

同じ濃度水準で、測定法Aを11回、測定法Bを9回独立に測定し、標本分散がそれぞれ $s_A^2=1.8$、$s_B^2=0.9$ でした。正規性と独立性を仮定します。

1. 分散比統計量を求めてください。
2. 帰無仮説のもとでの分布を書いてください。
3. 実務上の注意を述べてください。

解答3

分散比は、

$$F=\frac{s_A^2}{s_B^2}=\frac{1.8}{0.9}=2.0.$$

$H_0:\sigma_A^2=\sigma_B^2$ のもとで、

$$F\sim F_{10,8}.$$

ただし、測定日の違い、試料調製、装置バッチ、濃度依存の不均一分散、外れ値を確認します。同一試料を両測定法で測ったなら結果は対応しており、独立2標本の単純な分散比だけでは設計を十分に表せません。

問題4：有害事象割合とデルタ法

独立な400例中、80例で有害事象が観測されました。

1. 標本比率とその近似標準誤差を求めてください。
2. $g(p)=\log\{p/(1-p)\}$ の近似標準誤差を求めてください。

解答4

標本比率は、

$$\hat p=\frac{80}{400}=0.20.$$

近似標準誤差は、

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\hat p) =\sqrt{\frac{0.2(0.8)}{400}} =0.02.$$

ロジット関数の微分は、

$$g'(p)=\frac1p+\frac1{1-p} =\frac{1}{p(1-p)}.$$

したがって、

$$\begin{aligned} \widehat{\operatorname{SE}}\{g(\hat p)\} &\approx \frac{1}{\hat p(1-\hat p)} \widehat{\operatorname{SE}}(\hat p)\\ &=\frac{0.02}{0.2(0.8)}\\ &=0.125. \end{aligned}$$

比率が0または1に近い場合、単純な正規近似やロジット変換は不安定になるため、二項尤度に基づく方法を検討します。

問題5：コロニー数と平方根変換

ある培養条件で、1視野当たりのコロニー数を $Y\sim\operatorname{Poisson}(25)$ と近似します。

1. $Y$ の標準偏差を求めてください。
2. $\sqrt Y$ の近似標準偏差を求めてください。
3. データ解析でPoisson仮定以外に確認すべきことを挙げてください。

解答5

Poisson分布では分散が平均に等しいため、

$$\operatorname{SD}(Y)=\sqrt{25}=5.$$

平方根変換後の近似分散は $1/4$ なので、

$$\operatorname{SD}(\sqrt Y)\approx\frac12.$$

解析では、過分散、ゼロ過剰、視野面積の違い、同一培養皿内の視野間相関、検出限界を確認します。過分散があるなら負の二項分布、階層構造があるならランダム効果を含む計数モデルが候補です。

問題6：最大QT延長の解釈

同じ分布から独立に得られるQT延長量を考えます。試験Aは各患者1時点、試験Bは各患者20時点で測定し、各患者の最大値を報告しました。試験Bの最大値が大きい傾向を示しました。

この結果だけから試験Bの薬剤が危険だと結論できますか。

解答6

結論できません。$M_n$ の分布関数は、

$$P(M_n\leq x)=F(x)^n$$

なので、同じ母分布でも観測回数 $n$ が多いほど最大値は大きくなりやすいからです。

少なくとも、測定時点数、時間窓、ベースライン補正、同一患者内相関、欠測、心拍補正法、併用薬をそろえて比較します。最大値だけでなく、事前指定時点、時間平均、閾値超過、濃度QTモデルなどを検討します。

問題7：多施設データとLindeberg条件

多数の独立患者について治療効果の和を考えます。患者ごとに分散が異なりますが、各患者の寄与は有界で、総分散は患者数とともに増加するとします。

1. iid中心極限定理をそのまま引用してよいですか。
2. Lindeberg条件を薬学的に説明してください。

解答7

同一分布ではないため、iid中心極限定理をそのまま引用するのは不十分です。独立非同一分布のLindeberg–Feller定理などの条件を確認します。

薬学的には、特定の1患者の極端な反応や極端に大きな分散が、研究全体のばらつきを支配しないことを要求します。有界な寄与と増大する総分散はLindeberg条件を満たしやすくします。

ただし、施設内相関がある場合は患者間独立性が崩れるため、施設をクラスターとして扱う必要があります。

問題8：上位分位点のバイオマーカー

バイオマーカー分布の95%分位点を正常上限として推定したいとします。標本中央値より大きな標本数が必要になりやすい理由を、順序統計量と漸近分散から説明してください。

解答8

95%分位点は並べた標本の上端近くにあり、それより大きい観測は全体の約5%しかありません。したがって、実質的に利用できる裾の情報が少なくなります。

漸近分散は、

$$\operatorname{Var}(\hat\xi_p) \approx \frac{p(1-p)}{n f(\xi_p)^2}$$

です。上側裾では密度 $f(\xi_{0.95})$ が小さいことが多く、分母が小さくなるため分散が大きくなります。

正常上限を設定するには、対象集団の定義、年齢・性別などの層別、測定誤差、外れ値、必要な信頼度を踏まえて標本数を設計します。

問題9：薬物動態量の比

同じ被験者で測定したAUCと $C_{\max}$ の推定量を $\hat\theta_1,\hat\theta_2$ とし、その比 $R=\theta_1/\theta_2$ の標準誤差をデルタ法で求めたいとします。共分散を無視してよいでしょうか。

解答9

同じ被験者から得たAUCと $C_{\max}$ は通常相関するため、共分散を無視すべきではありません。勾配、

$$\nabla g= \begin{pmatrix} 1/\theta_2\\ -\theta_1/\theta_2^2 \end{pmatrix}$$

と共分散行列 $\Sigma$ を用いて、

$$\operatorname{Var}(\hat R) \approx \frac1n\nabla g^\top\Sigma\nabla g$$

と評価します。共分散項の符号によって、独立と仮定した計算より分散が大きくも小さくもなります。

問題10：EC50からpEC50への変換

ある受容体作動薬の $\widehat{\mathrm{EC}}_{50}$ が30 nM、その標準誤差が6 nMでした。局所的な正規近似が妥当と仮定します。

1. $\widehat{\mathrm{pEC}}_{50}$ を求めてください。
2. デルタ法で標準誤差を求めてください。
3. pEC50尺度の95%信頼区間を作り、EC50尺度へ戻してください。

解答10

pEC50では濃度をmol/Lで表すので、$30\ \mathrm{nM}=30\times10^{-9}\ \mathrm{M}$ です。したがって、

$$\widehat{\mathrm{pEC}}_{50} =-\log_{10}(30\times10^{-9}) \approx7.523.$$

$g(\theta)=-\log_{10}\theta$ の微分は、

$$g'(\theta)=-\frac1{\theta\log 10}$$

なので、単位をそろえれば、

$$\operatorname{SE}(\widehat{\mathrm{pEC}}_{50}) \approx \frac6{30\log 10} \approx0.087.$$

pEC50尺度の95%信頼区間は、

$$7.523\pm1.96(0.087) =(7.353,7.693)$$

です。$\mathrm{EC}_{50}=10^{-\mathrm{pEC}_{50}}\ \mathrm{M}$ で戻すと、向きが反転して、およそ、

$$(20.3,44.4)\ \mathrm{nM}$$

です。

問題11：相関したPK指標の比

同じ被験者データから得た推定値が、$\widehat{\mathrm{AUC}}=100$、$\widehat C_{\max}=80$ で、推定量の共分散行列が、

$$\widehat\Sigma = \begin{pmatrix} 25&6\\ 6&9 \end{pmatrix}$$

でした。$R=\mathrm{AUC}/C_{\max}$ の推定値とデルタ法による標準誤差を求めてください。

解答11

比の推定値は、

$$\widehat R=\frac{100}{80}=1.25$$

です。$g(x,y)=x/y$ の勾配を推定値で評価すると、

$$\nabla g = \begin{pmatrix} 1/80\\ -100/80^2 \end{pmatrix}.$$

行列表記を成分へ展開すると、

$$\begin{aligned} \widehat{\operatorname{Var}}(\widehat R) &\approx \frac{25}{80^2} +\frac{100^2\cdot9}{80^4} -\frac{2\cdot100\cdot6}{80^3}\\ &\approx0.003760. \end{aligned}$$

したがって、

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\widehat R) \approx\sqrt{0.003760} \approx0.0613$$

です。

この2行2列の計算を単変量の誤差伝播へ戻す

AUCだけが不確実なら、分散は $(1/C_{\max})^2\operatorname{Var}(\widehat{\mathrm{AUC}})$ です。2変量では $C_{\max}$ の不確実性と共分散項も加えます。今回は2つの偏微分の符号が逆で共分散が正なので、共分散項は分散を小さくする向きに働きます。

問題12：非母数的な95%基準上限と順序統計量

健康参照集団から連続型バイオマーカーを独立に199例測定し、小さい順に $X_{(1)},\ldots,X_{(199)}$ と並べました。分布形を仮定せず、95%分位点に対応する観測値を選びたいとします。

1. $E[F(X_{(k)})]=k/(n+1)$ を使い、対応する順位 $k$ を求めてください。
2. その1点だけを確定的な正常上限としてよいか説明してください。

解答12

$n=199$ なので、

$$\frac{k}{n+1}=\frac{k}{200}\approx0.95$$

より、

$$k=190$$

です。したがって $X_{(190)}$ が95%分位点に対応する自然な候補です。

ただし、$X_{(190)}$ 自体も標本を取り直せば変動します。95%分位点より下に入る観測数は二項分布で表せるため、順序統計量を2個選んで分位点の信頼区間を作れます。さらに、参照集団の選択、年齢・性別・腎機能などの層別、測定誤差、外れ値、検出限界も評価します。

20. まとめ

• 統計量は標本の関数であり、標本を取り直すと変動するため標本分布をもつ
• 標本平均は母平均の不偏推定量で、分散は $\sigma^2/n$ である
• 正規標本では、標本平均、標本分散、$\chi^2$・$t$・$F$ 分布が厳密につながる
• $\bar X$ と $S^2$ の独立性は正規性に依存する重要な結果である
• Chebyshevの不等式から大数の弱法則を導ける
• 中心極限定理は標準化した和の分布収束であり、大数の法則とは結論が異なる
• 連続写像定理とSlutskyの定理は、一致推定量を複雑な統計量へ広げる
• デルタ法はTaylor展開によって変換後の近似分散を与える
• 分散安定化変換は平均とともに変わる分散をそろえる考え方である
• 順序統計量は分位点、最小値、最大値を扱い、極値理論は標準化最大値の極限を扱う
• 概収束は確率収束より強く、大数の強法則は標本経路ごとの収束を述べる
• Lindeberg–FellerとLyapunovの定理は、独立だが同一分布でない和の正規近似を支える

標本分布と極限定理の役割は、「標本数が多ければ何とかなる」と言うことではありません。 どの統計量を使い、どの独立性・分布・積率条件のもとで、何が厳密で何が近似なのかを明らかにすることです。